大阪大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $f(x)g(x{)}^3=27$ かつ両者は正だから$$g(x)=3f(x{)}^{-1\mathrm{/}3}$$である。微分して $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-f^{\mathrm{\prime }}(x)f(x{)}^{-4\mathrm{/}3}$ を得る。接線が直交するので $f^{\mathrm{\prime }}(x)g^{\mathrm{\prime }}(x)=-1$、したがって$$\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2=f(x{)}^{4\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$$f$ は増加関数であり右辺は正だから $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x{)}^{2\mathrm{/}3}$ である。よって$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{3f(x{)}^{1\mathrm{/}3}\}=1.$$$f(0)=1$ を用いると$$f(x)={\displaystyle \frac{(x+3{)}^3}{27}},g(x)={\displaystyle \frac{9}{x+3}}\mathrm{.}$$(2) 交点では $(x+3{)}^4=243$ だから $x=3^{5\mathrm{/}4}-3$ である。$x=0$ では $g>f$ なので、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{3^{5\mathrm{/}4}-3}\{{\displaystyle \frac{9}{x+3}}-{\displaystyle \frac{(x+3{)}^3}{27}}\}dx}& {\displaystyle =9\log {\displaystyle \frac{3^{5\mathrm{/}4}}{3}}-{\displaystyle \frac{(3^{5\mathrm{/}4}{)}^4-3^4}{108}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}\log 3-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$

$u=f^{1\mathrm{/}3}$、$v=g\mathrm{/}3$ とおくと $uv=1$ になる。導関数の積が $-1$ という直交条件を $u,v$ で書き直すと $u^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}3$ が得られる。初期値で $u$ を決め、交点と面積を計算する。

(1) $$u(x)=f(x{)}^{1\mathrm{/}3},v(x)={\displaystyle \frac{g(x)}{3}}$$とおく。条件（ロ）より $u(x)v(x)=1$、すなわち $v=1\mathrm{/}u$ である。また$$f^{\mathrm{\prime }}=3u^2{u}^{\mathrm{\prime }},g^{\mathrm{\prime }}=3v^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{3u^{\mathrm{\prime }}}{u^2}}\mathrm{.}$$接線の直交条件 $f^{\mathrm{\prime }}{g}^{\mathrm{\prime }}=-1$ から$$-9(u^{\mathrm{\prime }}{)}^2=-1.$$$f$ は増加し、$u>0$ だから $u^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}3$ を選ぶ。$u(0)=1$ より$$u=1+{\displaystyle \frac{x}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)={\displaystyle \frac{(x+3{)}^3}{27}},g(x)={\displaystyle \frac{9}{x+3}}\mathrm{.}$$(2)
交点の $x$ 座標を $c$ とすると$$(c+3{)}^4=243=3^5,c=3^{5\mathrm{/}4}-3.$$$0\leqq x<c$ では $g(x)>f(x)$ なので、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^c\{{\displaystyle \frac{9}{x+3}}-{\displaystyle \frac{(x+3{)}^3}{27}}\}dx}& {\displaystyle =9\log {\displaystyle \frac{c+3}{3}}-{\displaystyle \frac{(c+3{)}^4-3^4}{108}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}\log 3-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$