大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $AB$ の中点を $O$ とする。$\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$ は $AB$ を直径とする球面上の条件であるから，$\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }$ は中心 $O$，半径1の球の内部に入る条件である。面積には境界の開閉は影響しないので，以下では境界も含めて面積を計算する。

面 $ABC$ 上で $O$ を原点，$AB$ を $x$ 軸にとり，$A(-1,0),B(1,0),C(0,\sqrt{3})$ とおく。この面での $M$ は，円 $x^2+y^2<1$ と正三角形 $ABC$ の共通部分である。

円は辺 $AC$，$BC$ とそれぞれの中点で交わる。これらを $E,F$ とすると$$E(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),F({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である。したがって図示すべき部分は，辺 $AB$，線分 $AE,BF$，および円弧 $EF$ に囲まれた部分である。ただし円弧 $EF$ は $C$ 側にふくらむ弧である。

面積は，台形 $ABFE$ と弦 $EF$ の上側の円弧部分に分ける。台形 $ABFE$ の面積は $${\displaystyle \frac{2+1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$$ である。扇形 $EOF$ の中心角は ${60}^{\circ }$ だから，円弧部分の面積は ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ である。よって，$\mathrm{△}ABC$ 上にある $M$ の部分の面積は$${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}+({\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$である。

(2)
面 $ABC$ と面 $ABD$ は $AB$ を含むので，どちらも(1)と同じ面積 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ をもつ。

次に面 $ACD$ を考える。$O$ から面 $ACD$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。1辺2の正四面体の高さは ${\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$ であり，$O$ は $AB$ の中点だから，$$OH={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$ である。よって，中心 $O$，半径1の球を面 $ACD$ で切った円の半径は $$r=\sqrt{1-O{H}^2}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。

また $AO=1$ なので $$AH=\sqrt{A{O}^2-O{H}^2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=r$$ である。この断面円は辺 $AC$，$AD$ の中点を通る。これらを $E,F$ とすると，求める部分は扇形 $EHF$ と三角形 $AHE,AHF$ を合わせた図形である。ここで中心角 $\mathrm{\angle }EHF$ は ${120}^{\circ }$ であるから，$$\text{面 }ACD\text{ 上の面積}={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\sin {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$$である。面 $BCD$ でも同じ面積が現れる。

したがって $M$ の面積は$$2({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+2({\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})={\displaystyle \frac{5\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$$である。

正四面体の各面に平面座標を置き、鈍角条件を内積の負条件へ直す。$AB$ を含む面では単位円と正三角形の共通部分を積分し、残りの面では $B$ の正射影から断面円を直接求める。

(1)
面 $ABC$ 上で$$A=(0,0),B=(2,0),C=(1,\sqrt{3})$$とおく。内積による鈍角条件は$$(P-A)\cdot (P-B)<0$$であるから、$P=(x,y)$ に対して$$(x-1{)}^2+y^2<1.$$よって図示する部分は、直径 $AB$ の円の内部と正三角形 $ABC$ の共通部分である。

左右対称性を使うと、その面積は$$2\{{\int }_0^{1\mathrm{/}2}\sqrt{3}xdx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\sqrt{1-(x-1{)}^2}dx\}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$(2)
面 $ABC,ABD$ は各々この面積をもつ。面 $ACD$ では $$A=(0,0),C=(2,0),D=(1,\sqrt{3})$$ と置く。頂点 $B$ の正射影は$$H=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$なので、面内の鈍角条件は$$(P-A)\cdot (P-H)<0.$$平方完成すると、中心$$K=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})$$、半径 $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ の円の内部となる。この円は $A$ と $AC,AD$ の中点を通り、2本の半径がなす角は ${120}^{\circ }$ である。したがって面 $ACD$ に現れる面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\sin {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\mathrm{.}$$面 $BCD$ も同じであるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Area}(M)}& {\displaystyle =2({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+2({\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$