大阪大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

行列$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$$は，複素数で考えれば $$-1+\sqrt{3}i=2(\cos {120}^{\circ }+i\sin {120}^{\circ })$$ を掛けることに対応する。したがって，$A$による一次変換は，長さを$2$倍し，原点のまわりに${120}^{\circ }$回転する変換である。

初めのベクトルは$$\overrightarrow{x_0}=\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}16\\ 0\end{array}\right)$$なので，$\overrightarrow{x_n}$の長さは $$\mid \overrightarrow{x_n}\mid ={\displaystyle \frac{2^n}{16}}$$ であり，方向は正の$x$軸から${120}^{\circ }n$だけ回転した方向である。

図形$R$は $${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq y\leqq 1$$ で定められる。特に$y\geqq 1\mathrm{/}2$である。${120}^{\circ }n$の方向を$n$の余りで見ると，$n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$では$x$軸方向，$n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$では$y<0$の方向になる。したがって$R$に入る可能性があるのは $n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ の場合だけである。

このとき$$\overrightarrow{x_n}=r(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),r={\displaystyle \frac{2^n}{16}}$$と書ける。つまり $$x=-{\displaystyle \frac{r}{2}},y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r$$ である。

まず$y\leqq 1$より ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r\leqq 1$ だから $r\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$ である。また放物線より上にある条件は $${\displaystyle \frac{1}{2}}{(-{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r$$ である。整理すると $${\displaystyle \frac{r^2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r$$ すなわち $r^2-4\sqrt{3}r+4\leqq 0$ である。この2次式の根は $r=2\sqrt{3}\pm 2\sqrt{2}$ なので $$2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\leqq r\leqq 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$$ である。これと$r\leqq 2\mathrm{/}\sqrt{3}$を合わせると $$2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\leqq r\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。 $n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$である自然数は $n=1,4,7,\dots$ であり，対応する$r=2^n\mathrm{/}16$は ${\displaystyle \frac{1}{8}},1,8,\dots$ である。このうち上の範囲に入るのは$r=1$だけである。したがって $n=4$ である。

このとき $$\overrightarrow{x_4}=1\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$ なので$${\displaystyle n=4,\overrightarrow{x_4}=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)}$$である。

$A^3=8E$ を直接計算し、$n=3q+r$ に分ける。$r=0,2$ は座標の符号だけで除外でき、$r=1$ では $A^{3q+1}{\vec{x}}_0$ を明示して、領域 $R$ の二つの不等式へ代入する。

直接計算すると$$A^3=8E$$である。そこで $n=3q+r$、$r=0,1,2$ とおく。

$r=0$ なら ${\vec{x}}_n$ は正の $x$ 軸上にあり、$R$ の条件 $y\geqq 1\mathrm{/}2$ を満たさない。$r=2$ なら $y<0$ となるので、これも $R$ に入らない。したがって $r=1$ だけを調べればよい。$${\vec{x}}_{3q+1}=8^{q}A\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{16}}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{8^q}{16}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}{8}^q}{16}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$$q=0$ では $y=\sqrt{3}\mathrm{/}16<1\mathrm{/}2$ なので領域外である。$q=1$ では$${\vec{x}}_4=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$$であり、$${\displaystyle \frac{1}{2}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{8}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}<1$$だから $R$ に含まれる。$q\geqq 2$ では$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}{8}^q}{16}}\geqq 4\sqrt{3}>1$$となるので領域外である。

以上より$$n=4,{\vec{x}}_4=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$