大阪大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
直接計算すると$$A^2=-E,A^3=-A,A^4=E\mathrm{.}$$(2)
$A^4=E$より$A^{n+4}=A^n$、$A^{2(n+4)}=A^{2n}$である。従って$$X_{n+4}=A^{2n+8}+A^{n+4}+E=A^{2n}+A^n+E=X_n\mathrm{.}$$(3)
(1)を用いると$$X_1=A,X_2=E,X_3=-A,X_4=3E\mathrm{.}$$(2)より、$j=0,1,\dots ,k-1$に対する4項をまとめれば$$\sum _{n=1}^{4k}{r}^n{X}_n=\sum _{j=0}^{k-1}{r}^{4j}(rA+r^{2}E-r^{3}A+3r^{4}E)\mathrm{.}$$ここで$$G_k=\sum _{j=0}^{k-1}{r}^{4j}={\displaystyle \frac{1-r^{4k}}{1-r^4}}$$とおくと$$\sum _{n=1}^{4k}{r}^n{X}_n=G_k\{(r-r^3)A+(r^2+3r^4)E\}\mathrm{.}$$$A,E$の成分を比較して$$s_k=(r^2+3r^4){\displaystyle \frac{1-r^{4k}}{1-r^4}},t_k=(r-r^3){\displaystyle \frac{1-r^{4k}}{1-r^4}}\mathrm{.}$$$0<r<1$だから$r^{4k}\to 0$であり、$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_k={\displaystyle \frac{r^2+3r^4}{1-r^4}}\mathrm{.}$$

$A$ が平面ベクトルを90度時計回りに回す行列であることから、累乗を4で割った余りごとに分類する。$X_n$ の4周期表を先に作り、各剰余類の係数を有限等比級数としてまとめる。

(1)
$A$ は$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}y\\ -x\end{array}\right)$$という90度の時計回り回転を表す。従って$$A^2=-E,A^3=-A,A^4=E\mathrm{.}$$(2)
$A^{n+4}=A^n$ であり、$$A^{2(n+4)}=A^{2n}{A}^8=A^{2n}$$だから$$X_{n+4}=X_n\mathrm{.}$$(3)
$n$ を4で割った余りごとに計算すると$$\begin{array}{ccccc}n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>4& 1& 2& 3& 0\\ X_n& A& E& -A& 3E\end{array}$$である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{4k}{r}^n{X}_n}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{k-1}{r}^{4j}\{rA+r^{2}E-r^{3}A+3r^{4}E\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-r^{4k}}{1-r^4}}\{(r-r^3)A+(r^2+3r^4)E\}\mathrm{.}}\end{array}$$成分を比較して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_k}& {\displaystyle =(r^2+3r^4){\displaystyle \frac{1-r^{4k}}{1-r^4}},}\\ {\displaystyle t_k}& {\displaystyle =(r-r^3){\displaystyle \frac{1-r^{4k}}{1-r^4}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<r<1$ より$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_k={\displaystyle \frac{r^2+3r^4}{1-r^4}}\mathrm{.}$$