大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

だ円 $A$ 上の点は $$(x,y)=(2X,Y),X^2+Y^2=1$$ と表せる。また、だ円 $B$ 上の点は $$(x,y)=(X,2Y),X^2+Y^2=1$$ と表せる。

したがって、だ円 $A$ をだ円 $B$ に移す1次変換は、単位円上で長さと直交を保つ変換をはさんで$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)R\left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$と表される。ここで $R$ は単位円を単位円に移す1次変換であり、回転または反転である。

点 $(2,0)$ は、単位円側では $(1,0)$ に対応する。これが $(\cos \theta ,2\sin \theta )$ に移るためには、$R$ の第1列が$$\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$$でなければならない。したがって第2列は、これに直交する単位ベクトルとして$$\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)\text{または}\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ -\cos \theta \end{array}\right)$$の2通りである。

よって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\cos \theta }{2}}& -\sin \theta \\ \sin \theta & 2\cos \theta \end{array}\right)$$または$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\cos \theta }{2}}& \sin \theta \\ \sin \theta & -2\cos \theta \end{array}\right)$$である。

(2)

(1) の2通りの行列を考える。$(2,0)$ が移る点はどちらの場合も $$P=(\cos \theta ,2\sin \theta )$$ である。一方、$(0,1)$ が移る点 $Q$ は $$Q=(-\sin \theta ,2\cos \theta )$$ または $$Q=(\sin \theta ,-2\cos \theta )$$ である。

それぞれの内積は $$P\cdot Q=3\sin \theta \cos \theta$$ または $$P\cdot Q=-3\sin \theta \cos \theta$$ である。$\mathrm{\angle }POQ$ を最小にするには、$\cos \mathrm{\angle }POQ$ を最大にすればよいので、符号の選択により内積を $3\mathrm{\mid }\sin \theta \cos \theta \mathrm{\mid }$ にできる。

また$$\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2={\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta ,\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2={\sin }^2\theta +4{\cos }^2\theta$$である。したがって$${\cos }^2\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{9{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }{({\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta )({\sin }^2\theta +4{\cos }^2\theta )}}$$である。 $$u={\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$$ とおくと、$0\leqq u\leqq 1\mathrm{/}4$ であり、分母は$$({\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta )({\sin }^2\theta +4{\cos }^2\theta )=4({\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta )+17u$$である。ここで $${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {)}^2-2u=1-2u$$ だから、分母は $4+9u$ となる。よって $${\cos }^2\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{9u}{4+9u}}$$ である。これは $u$ が大きいほど大きいので、最大は $u={\displaystyle \frac{1}{4}}$ のときである。

したがって $${\cos }^2\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{9\mathrm{/}4}{4+9\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{9}{25}}$$ であり、角は最小なので余弦は正として $\cos \mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。

単位円を介した2つのだ円の対応

変換行列の2列を、だ円 $B$ の二次形式に関する長さと直交条件から
直接決める。(2)では $t=\mathrm{\mid }\tan \theta \mathrm{\mid }$ とおき、
相加相乗平均で余弦を一度に評価する。

(1)

変換行列を $$T=(\mathit{u}\mathit{v})$$ とする。$$T(2,0)=(\cos \theta ,2\sin \theta )$$ より$$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \mathrm{/}2\\ \sin \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$だ円 $A$ の表示 $(x,y)=(2X,Y)$ を使うと、単位円上の
$(X,Y)$ をすべてだ円 $B$ へ送る条件から、第2列は$$\mathit{v}=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ 2\cos \theta \end{array}\right)\text{または}\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ -2\cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta \mathrm{/}2& -\sin \theta \\ \sin \theta & 2\cos \theta \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\cos \theta \mathrm{/}2& \sin \theta \\ \sin \theta & -2\cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

符号を適切に選べば$$\cos \mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{3\mathrm{\mid }\sin \theta \cos \theta \mathrm{\mid }}{\sqrt{({\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta )({\sin }^2\theta +4{\cos }^2\theta )}}}\mathrm{.}$$$\sin \theta \cos \theta =0$ では余弦は0である。それ以外で
$t=\mathrm{\mid }\tan \theta \mathrm{\mid }>0$ とおくと$${\cos }^2\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{9t^2}{(1+4t^2)(t^2+4)}}={\displaystyle \frac{9}{4t^2+17+4\mathrm{/}{t}^2}}\mathrm{.}$$相加相乗平均より$$4t^2+{\displaystyle \frac{4}{t^2}}\geqq 8$$だから$${\cos }^2\mathrm{\angle }POQ\leqq {\displaystyle \frac{9}{25}}\mathrm{.}$$等号は $t=1$ のときに成立する。最小角は鋭角なので$$\cos \mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$