阪大 1993年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は成分を直接計算し， $A^{2}$ の各成分が $f (A) A + g (A) E$ と一致することを示す。(2)は(1)を使って， $A^{n + 1} = p_{n} A + q_{n} E$ と表せるなら次の指数でも同じ形で表せることを帰納法で示す。(3)では $f (A) = f (B)$ ， $g (A) = g (B)$ により係数 $p_{m}, q_{m}$ が $A, B$ で共通になる点を使う。さらに $f > 0$ ， $g ≧ 0$ から $p_{m} > 0$ を帰納的に示し， $A^{n} - B^{n} = p_{n - 1} (A - B)$ に帰着する。

解答

(1) $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ とする。直接計算すると $A^{2} = (\begin{array}{cc} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{array})$ である。一方， $f (A) = a + d$ ， $g (A) = b c - a d$ より $f (A) A + g (A) E = (a + d) (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) + (b c - a d) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ $= (\begin{array}{cc} a^{2} + a d + b c - a d & a b + b d \\ a c + c d & a d + d^{2} + b c - a d \end{array}) = (\begin{array}{cc} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{array})$ である。したがって $A^{2} = f (A) A + g (A) E$ が成り立つ。

(2) $n = 1$ のときは，(1)より $A^{2} = f (A) A + g (A) E$ であるから， $p_{1} = f (A)$ ， $q_{1} = g (A)$ とすればよい。

ある $n$ で $A^{n + 1} = p_{n} A + q_{n} E$ と表せたとする。両辺に $A$ をかけると $A^{n + 2} = p_{n} A^{2} + q_{n} A$ である。(1)を代入して $A^{n + 2} = p_{n} {f (A) A + g (A) E} + q_{n} A$ $= {p_{n} f (A) + q_{n}} A + p_{n} g (A) E$ となる。よって $p_{n + 1} = p_{n} f (A) + q_{n}, q_{n + 1} = p_{n} g (A)$ とおけば， $n + 1$ の場合も同じ形で表せる。数学的帰納法により，すべての $n ≧ 1$ についてそのような数 $p_{n}, q_{n}$ が存在する。

(3)
共通の値を $f = f (A) = f (B), g = g (A) = g (B)$ とおく。(2)の作り方を見ると，係数は $p_{1} = f, q_{1} = g$ から始まり， $p_{m + 1} = f p_{m} + q_{m}, q_{m + 1} = g p_{m}$ で定まる。したがって， $A$ に対しても $B$ に対しても，同じ $p_{m}, q_{m}$ を使うことができる。

ここで $f > 0$ ， $g ≧ 0$ である。初めに $p_{1} = f > 0, q_{1} = g ≧ 0$ である。もし $p_{m} > 0$ ， $q_{m} ≧ 0$ なら $p_{m + 1} = f p_{m} + q_{m} > 0, q_{m + 1} = g p_{m} ≧ 0$ である。よって帰納的に，すべての $m ≧ 1$ で $p_{m} > 0, q_{m} ≧ 0$ が成り立つ。

いま $A^{n} = B^{n}$ となる $n ≧ 2$ がある。上の表示を $n - 1$ に用いると $A^{n} = p_{n - 1} A + q_{n - 1} E, B^{n} = p_{n - 1} B + q_{n - 1} E$ である。両式の差を取ると $A^{n} - B^{n} = p_{n - 1} (A - B)$ である。左辺は0であり，しかも $p_{n - 1} > 0$ だから $A - B = 0$ となる。したがって $A = B$ である。

別解

解法2

方針

$A^{2} = f A + g E$ を使って $A^{m}$ の係数を明示的な数列 $U_{m}$ で表す。漸化式を組合せ数の和として解き、 $f > 0, g ≧ 0$ のもとで係数が正であることを式から直接確認して $A^{n} = B^{n}$ を比較する。

解答

(1)
成分計算により $A^{2} - (a + d) A = (\begin{array}{cc} b c - a d & 0 \\ 0 & b c - a d \end{array}) = (b c - a d) E .$ したがって $A^{2} = f (A) A + g (A) E$ である。

(2)
$f = f (A), g = g (A)$ とし、 $U_{0} = 0, U_{1} = 1, U_{m + 1} = f U_{m} + g U_{m - 1}$ とおく。このとき $A^{m} = U_{m} A + g U_{m - 1} E (m ≧ 1)$ が成り立つ。実際、 $m = 1$ では明らかであり、両辺に $A$ を掛けて $A^{2} = f A + g E$ を使えば次の指数でも成立する。よって問題の記号では $p_{n} = U_{n + 1}, q_{n} = g U_{n}$ とすればよい。

(3)
この数列は $U_{m} = \sum_{j = 0}^{⌊ (m - 1) / 2 ⌋}_{m - 1 - j} C_{j} f^{m - 1 - 2 j} g^{j}$ と表せる。右辺が同じ漸化式と初期値を満たすことは、二項係数の関係から確かめられる。 $f > 0, g ≧ 0$ なら、すべての項は非負で、 $j = 0$ の項 $f^{m - 1}$ は正だから $U_{m} > 0 (m ≧ 1) .$ $A, B$ では $f, g$ が共通なので同じ $U_{m}$ を使える。したがって $A^{n} - B^{n} = U_{n} (A - B) .$ 仮定より左辺は0であり、 $U_{n} > 0$ だから $A - B = 0$ 、すなわち $A = B$ である。

総評

2次正方行列の計算を， $A$ と単位行列 $E$ の一次結合へ落とし込む証明問題である。目安時間は18分。(1) は成分計算を省くと説得力が落ちるので，対角成分で $b c - a d$ が効いていることを明示したい。(2) は帰納法の更新式まで書けば十分である。(3) では係数 $p_{m}, q_{m}$ が $f, g$ だけで決まり， $A, B$ で共通になる点が要点である。さらに $p_{m} > 0$ を示してから割る，という順序を守ると論理の穴が残らない。

出典: 大阪大学 1993年度前期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問