大阪大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
$A^{500}=O$から$\det A=0$である。2次行列の固有方程式より$$A^2-(\mathrm{tr}A)A+(\det A)E=O,$$従って$A^2=(\mathrm{tr}A)A$である。もし$\mathrm{tr}A\mathrm{\ne }0$なら、帰納的に$A^{500}=(\mathrm{tr}A{)}^{499}A$となり、$A^{500}=O$から$A=O$を得るが、右下成分は4なので矛盾する。従って$\mathrm{tr}A=0$であり、$A^2=O$である。
(2)
直接計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+4)\\ c(a+4)& bc+16\end{array}\right)=O\mathrm{.}$$$bc=-16$なので$b,c\mathrm{\ne }0$であり、$b(a+4)=c(a+4)=0$から$a=-4$を得る。従って成分の多重集合は$\{-4,4,b,c\}$で、$bc=-16$である。
4数を2組に分けた積が行列式の正負2項になる。どの並べ替えでも行列式が0であるには、3通りの組分けの積がすべて等しくなければならない。既に$(-4)\cdot 4=bc=-16$であり、さらに$$(-4)b=4c$$が必要なので$c=-b$である。$bc=-16$から$b^2=16$を得る。逆に成分が$4,4,-4,-4$なら、どの組分けでも対角積と非対角積は等しく、すべて特異である。従って$$(a,b,c)=(-4,4,-4),(-4,-4,4)\mathrm{.}$$

(1) は線形写像として像空間を見る。$A\mathrm{\ne }O$ かつ非可逆なので像は1次元で、
その直線上での作用が零でなければ高い冪は零になれない。
(2)は $A^2=O$ から成分を決め、4数の3通りの組分けを比較する。

(1)

$A^{500}=O$ なら $A$ は可逆でない。一方、右下成分が4なので $A\mathrm{\ne }O$ である。
よって平面上の線形写像 $A$ の像は1次元の直線 $L$ である。
$A(L)\subset L$ だから、$L$ 上ではある実数 $\lambda$ により$$A\mathit{u}=\lambda \mathit{u}(\mathit{u}\in L)$$と書ける。もし $\lambda \mathrm{\ne }0$ なら、$L$ の非零ベクトルに
$A^{500}$ を作用させても零にならず矛盾する。したがって
$A(L)=\{\mathbf{0}\}$ である。
任意の $\mathit{v}$ に対し $A\mathit{v}\in L$ だから$$A^2\mathit{v}=\mathbf{0}\mathrm{.}$$よって $A^2=O$ である。

(2) $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+4)\\ c(a+4)& bc+16\end{array}\right)=O\mathrm{.}$$$bc=-16$ なので $b,c\mathrm{\ne }0$、したがって $a=-4$ である。
4成分は $-4,4,b,c$ で、$(-4)\cdot 4=bc=-16$ である。

どの並べ替えでも行列式が0となるには、4数を2組に分ける3通りの積が
すべて等しいことが必要十分である。したがって$$(-4)b=4c,$$よって $c=-b$ である。$bc=-16$ から $b=\pm 4$ を得る。
逆に成分が $4,4,-4,-4$ なら、どの組分けでも両積は等しい。
ゆえに$$(a,b,c)=(-4,4,-4),(-4,-4,4)\mathrm{.}$$