大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
直接計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$$である。したがって$$A^4=(A^2{)}^2={\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ 0& -4\end{array}\right)=-4E$$を得る。

(2)
(1)より $A^4=-4E$ であるから，任意の整数 $j\geqq 0$ と $r=1,2,3,4$ に対して $$A^{4j+r}=A^{4j}{A}^r=(-4{)}^j{A}^r$$ である。よって，$4$ 項ずつまとめると$$\sum _{k=1}^{4n}{A}^k=\sum _{j=0}^{n-1}(A^{4j+1}+A^{4j+2}+A^{4j+3}+A^{4j+4})$$$$=\{1+(-4)+\cdots +(-4{)}^{n-1}\}(A+A^2+A^3+A^4)$$となる。

ここで$$A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 2& -2\end{array}\right)$$であるから，$$A+A^2+A^3+A^4=\left(\begin{array}{cc}-5& -5\\ 5& -5\end{array}\right)$$である。また $$1+(-4)+\cdots +(-4{)}^{n-1}={\displaystyle \frac{1-(-4{)}^n}{1-(-4)}}={\displaystyle \frac{1-(-4{)}^n}{5}}$$ である。したがって$$\sum _{k=1}^{4n}{A}^k=(1-(-4{)}^n)\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$$である。

列ベクトル $(x,y)$ を複素数 $z=x+iy$ と同一視する。行列 $A$ の作用が $1+i$ の乗法であることを使い、4乗ごとの倍率と4項分の和を複素数の等比構造から求め、最後に行列へ戻す。

(1)
列ベクトル $(x,y)$ を複素数 $z=x+iy$ とみなす。すると$$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y\\ x+y\end{array}\right)$$は、複素数では $z\mapsto (1+i)z$ に対応する。したがって$$(1+i{)}^2=2i,(1+i{)}^4=-4$$より$$A^4=-4E\mathrm{.}$$(2)
また、最初の4項に対応する複素数の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1+i)+(1+i{)}^2+(1+i{)}^3+(1+i{)}^4}& {\displaystyle =(1+i)+2i+(-2+2i)-4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-5+5i\mathrm{.}}\end{array}$$よって対応する行列は$$A+A^2+A^3+A^4=\left(\begin{array}{cc}-5& -5\\ 5& -5\end{array}\right)\mathrm{.}$$第 $j$ 番目の4項のまとまりはこれの $(-4{)}^j$ 倍なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{4n}{A}^k}& {\displaystyle =\{\sum _{j=0}^{n-1}(-4{)}^j\}\left(\begin{array}{cc}-5& -5\\ 5& -5\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-(-4{)}^n}{5}}\left(\begin{array}{cc}-5& -5\\ 5& -5\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-(-4{)}^n)\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$これが求める和である。