大阪大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $a_1=1$ は有理数なので $a_2=\sqrt{2}\mathrm{/}2$ は無理数である。一般に $a_{2m-1}=b_m$ が正の有理数なら$$a_{2m}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{b}_m$$は無理数であり、次に$$a_{2m+1}=\sqrt{2}{a}_{2m}-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^{2m}=b_m-{\displaystyle \frac{1}{2^m}}$$は有理数である。よってこの交代は帰納的に続き、$$b_{m+1}=b_m-{\displaystyle \frac{1}{2^m}},b_1=1$$を得る。したがって$$b_m=1-\sum _{k=1}^{m-1}{\displaystyle \frac{1}{2^k}}={\displaystyle \frac{1}{2^{m-1}}}\mathrm{.}$$(2) (1)より$$a_{2m-1}={\displaystyle \frac{1}{2^{m-1}}},a_{2m}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^m}}$$である。よって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^{m-1}}}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^m}}=2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

数列全体について $a_{2m-1}=2^{1-m}$、$a_{2m}=\sqrt{2}{2}^{-m}$ を予想し、有理・無理の判定を含めて同時帰納法で証明する。その一般項を奇数項と偶数項に分けて足す。

(1)
次の二式を同時に証明する。$$a_{2m-1}={\displaystyle \frac{1}{2^{m-1}}},a_{2m}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^m}}\mathrm{.}$$$m=1$ では $a_1=1$、また規則（ロ）から $a_2=\sqrt{2}\mathrm{/}2$ なので成立する。

$m$ で成立すると仮定する。$a_{2m-1}$ は正の有理数だから規則（ロ）より$$a_{2m}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{a}_{2m-1}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^m}},$$これは無理数である。続いて規則（ハ）より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2m+1}}& {\displaystyle =\sqrt{2}{a}_{2m}-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^{2m}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{2^m}}-{\displaystyle \frac{1}{2^m}}={\displaystyle \frac{1}{2^m}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって帰納法により二式がすべての $m$ で成立し、$$b_m=a_{2m-1}={\displaystyle \frac{1}{2^{m-1}}}\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}& {\displaystyle =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{1}{2^{m-1}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^m}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$