方針
まずan=rn−1, bn=sn−1なので、x2=r+s, x4=r3+s3である。条件からr+sとrsを求め、r,sを2次方程式の2解として決める。(2)では、r,sが同じ方程式t2=2t+1を満たすことを使い、rn+1, sn+1をそれぞれrn,rn−1およびsn,sn−1で表してから加える。添字はxn=rn−1+sn−1であることに合わせて確認する。
解答
(1)
等比数列の初項がともに1であるから an=rn−1,bn=sn−1 であり、したがって xn=rn−1+sn−1 である。条件x2=2より r+s=2 である。またx4=14より r3+s3=14 である。ここで r3+s3=(r+s)3−3rs(r+s) だから 14=23−3rs⋅2=8−6rs となる。よって rs=−1 である。
したがってr,sは、和が2、積が−1である2数なので、2次方程式 t2−2t−1=0 の2つの解である。解は t=1±2 であり、r>sより r=1+2,s=1−2 である。
(2)
(1)よりr,sはいずれも t2−2t−1=0 を満たす。すなわち t2=2t+1 である。これにt=rを代入してrn−1を掛けると、すべての自然数nについて rn+1=2rn+rn−1 である。同様に sn+1=2sn+sn−1 である。
これらを加えると rn+1+sn+1=2(rn+sn)+(rn−1+sn−1) となる。xn=rn−1+sn−1であるから、左辺はxn+2、右辺は2xn+1+xnである。したがって xn+2=2xn+1+xn がすべての自然数nについて成り立つ。
別解
解法2
方針
初めに u=r+s, v=rs を対称式として決める。その後は r,s を個別に代入して漸化式を作る代わりに、2根をもつ2次式の根のべき和に対する恒等式として xn の漸化式を一度に導く。
解答
(1) u=r+s,v=rsと置く。x2=2 より u=2 であり、x4=r3+s3=u3−3uvだから14=8−6v,v=−1.従って r,s はz2−uz+v=z2−2z−1=0の2根である。r>s よりr=1+2,s=1−2.(2)
恒等式zn+1−2zn−zn−1=zn−1(z2−2z−1)を使う。z=r,s はともに右辺の2次式を0にするので0=(rn+1−2rn−rn−1)+(sn+1−2sn−sn−1)=xn+2−2xn+1−xn.よってすべての自然数 n についてxn+2=2xn+1+xnが成り立つ。
総評
難度4、計算量4。和と積から2根を確定し、同じ2次方程式を根のべき和へ移す問題である。添字が1つずれるため、xn=rn−1+sn−1 を最後まで保つことが採点上重要となる。
冊子PDFで見る阪大の数列の問題で問題集を作る
出典: 大阪大学 1997年度 前期 文系 第1問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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