大阪大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $k\geqq 2$ に対し$$a_m<k\leqq a_{m+1}$$は$$\lfloor \sqrt{m}\rfloor <k\leqq \lfloor \sqrt{m+1}\rfloor$$である。これは$$m<k^2\leqq m+1$$と同値だから$$m=k^2-1.$$$b_1=0=1^2-1$ も含めて$$b_k=k^2-1$$である。

(2) $\lfloor \sqrt{m}\rfloor$ は$$1\leqq k,k^2\leqq m$$を満たす整数 $k$ の個数である。従って$$\sum _{m=1}^{n^2}{a}_m$$は整数対 $(k,m)$ で$$1\leqq k\leqq n,k^2\leqq m\leqq n^2$$を満たすものの個数である。$k$ を固定するとその個数は$$n^2-k^2+1.$$一方 $b_k=k^2-1$ だから$$(n^2-k^2+1)+b_k=n^2\mathrm{.}$$これを $k=1,\dots ,n$ で足すと$$\sum _{m=1}^{n^2}{a}_m+\sum _{k=1}^n{b}_k=n^3\mathrm{.}$$(3) (2)と(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{m=1}^{n^2}\lfloor \sqrt{m}\rfloor }& {\displaystyle =n^3-\sum _{k=1}^n(k^2-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n^3-{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(4n^2-3n+5)}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$

$[\sqrt{m}]$ が一定になる区間$$j^2\leqq m\leqq (j+1{)}^2-1$$ごとに和をまとめる。(3)を直接計算した後、(1)で求めた $b_k$ の和を加えて (2) の恒等式を別方向から確認する。

(1) $$a_m=[\sqrt{m}]$$ が $k-1$ から $k$ へ初めて増えるのは$$m+1=k^2$$のときである。従って$$b_k=k^2-1(k\geqq 1)$$である。

(3)
$1\leqq j\leqq n-1$ に対し$$[\sqrt{m}]=j$$となるのは$$j^2\leqq m\leqq (j+1{)}^2-1$$の $2j+1$ 個である。最後の $m=n^2$ では値が $n$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{m=1}^{n^2}[\sqrt{m}]}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}j(2j+1)+n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sum _{j=1}^{n-1}{j}^2+\sum _{j=1}^{n-1}j+n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(4n^2-3n+5)}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
(1)から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n(k^2-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}-n\mathrm{.}}\end{array}$$これと (3) の式を加えると$$\sum _{m=1}^{n^2}{a}_m+\sum _{k=1}^n{b}_k=n^3$$となり、すべての自然数 $n$ について示された。