大阪大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 回転後の点を $(x,y)$ とすると、回転前の座標は$$(x\cos \theta +y\sin \theta ,-x\sin \theta +y\cos \theta )$$である。これをもとの式に代入したときの $xy$ の係数を整理すると$$2B=2b\cos 2\theta -\sin 2\theta$$である。したがって $B=0$ なら$$\tan 2\theta =2b$$である。

(2) $$x^2+2bxy+2y^2=(x+by{)}^2+(2-b^2)y^2$$である。これが楕円を表すための必要十分条件は、左辺が $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ に対して常に正となることである。したがって$$2-b^2>0$$が必要十分であり、求める範囲は$$-\sqrt{2}<b<\sqrt{2}$$である。

二次形式を対称行列で表す。主軸方向の単位ベクトルとそれに直交するベクトルを代入し、混合項が消える条件を内積から求める。楕円条件は二つの固有方向の係数が正であることを、和と積から判定する。

(1)
二次形式の係数行列を$$M=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ b& 2\end{array}\right)$$とする。回転後の $x$ 軸・$y$ 軸に対応する回転前の単位ベクトルは$$\vec{u}=(\cos \theta ,-\sin \theta ),\vec{v}=(\sin \theta ,\cos \theta )$$である。回転後の混合項の半分 $B$ は$$B=\vec{u}M{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\vec{v}=b\cos 2\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta \mathrm{.}$$よって $B=0$ なら$$\tan 2\theta =2b\mathrm{.}$$$\theta$ の指定範囲では、この値に対応する主軸方向を選べる。

(2)
$B=0$ とした座標では曲線は$$A{X}^2+C{Y}^2=1$$と書ける。回転で二次形式の係数の和と行列式は変わらないので$$A+C=3,AC=2-b^2\mathrm{.}$$楕円となるための必要十分条件は $A>0$、$C>0$ である。和が正なので、これは積が正であることと同値であり、$$2-b^2>0.$$したがって$$-\sqrt{2}<b<\sqrt{2}\mathrm{.}$$