大阪大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$$S_n=\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k-1}{a}_k$$とおく。

(1) $S_1=a_1-a_2=b_1\mathrm{/}2$ である。$$0<a_1\leqq 1,0<a_2\leqq 1\mathrm{/}2$$ より $0<S_1<1$ だから、正整数 $b_1$ は$$b_1=1$$である。

(2) $b_1=\cdots =b_{n-1}=1$ と仮定する。条件(イ)から$$S_{n-1}=\sum _{j=n}^{2n-2}{\displaystyle \frac{1}{j}},S_n=\sum _{j=n+1}^{2n-1}{\displaystyle \frac{1}{j}}+{\displaystyle \frac{b_n}{2n}}\mathrm{.}$$従って$$a_{2n-1}-a_{2n}=S_n-S_{n-1}={\displaystyle \frac{b_n}{2n}}-{\displaystyle \frac{n-1}{n(2n-1)}}\mathrm{.}$$一方、条件(ロ)より$$-{\displaystyle \frac{1}{2n}}<a_{2n-1}-a_{2n}<{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}\mathrm{.}$$これらを比べると$$-{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}<b_n<2.$$$b_n$ は正整数だから $b_n=1$ である。帰納法により$$b_n=1(n=1,2,\dots )\mathrm{.}$$(3) $a_2=a_1\mathrm{/}2$ と $a_1-a_2=1\mathrm{/}2$ より $a_1=1$ である。(2)の差の式で $b_n=1$ とすると$$a_{2n-1}-a_{2n}={\displaystyle \frac{1}{2n(2n-1)}}\mathrm{.}$$追加条件 $a_{2n}=a_n\mathrm{/}2$ を用いる。$a_n=1\mathrm{/}n$ と仮定すれば$$a_{2n}={\displaystyle \frac{1}{2n}},a_{2n-1}={\displaystyle \frac{1}{2n}}+{\displaystyle \frac{1}{2n(2n-1)}}={\displaystyle \frac{1}{2n-1}}\mathrm{.}$$初項から帰納的にすべての項が決まるので$$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}(n=1,2,\dots )\mathrm{.}$$

$b_n$ が1でない最小の添字を仮定する。左右の式をその添字と1つ前で引き、未知の正整数 $b_n$ を長さ2未満の開区間へ閉じ込めて矛盾を出す。(3)は偶数項の条件と隣接差を強い帰納法で使う。

左辺を$$S_n=\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k-1}{a}_k$$とおく。

(1) $${\displaystyle \frac{b_1}{2}}=S_1=a_1-a_2$$である。右辺は正であり、$a_1\leqq 1,a_2>0$ から1未満である。よって $0<b_1<2$ で、正整数条件から $b_1=1$ である。

(2)
$b_m\mathrm{\ne }1$ となる最小の $m\geqq 2$ があると仮定する。すると $l<m$ では $b_l=1$ だから$$S_{m-1}=\sum _{j=m}^{2m-2}{\displaystyle \frac{1}{j}},S_m=\sum _{j=m+1}^{2m-1}{\displaystyle \frac{1}{j}}+{\displaystyle \frac{b_m}{2m}}\mathrm{.}$$差を取れば$$a_{2m-1}-a_{2m}={\displaystyle \frac{b_m}{2m}}-{\displaystyle \frac{m-1}{m(2m-1)}}\mathrm{.}$$一方、$$-{\displaystyle \frac{1}{2m}}<a_{2m-1}-a_{2m}<{\displaystyle \frac{1}{2m-1}}\mathrm{.}$$したがって$$-{\displaystyle \frac{1}{2m-1}}<b_m<2.$$$b_m$ は正整数なので $b_m=1$ となり、最小性に矛盾する。ゆえに$$b_n=1(n\geqq 1)\mathrm{.}$$(3)
$a_2=a_1\mathrm{/}2$ と $a_1-a_2=1\mathrm{/}2$ より $a_1=1$ である。また上の差の式は$$a_{2n-1}-a_{2n}={\displaystyle \frac{1}{2n(2n-1)}}$$となる。$a_n=1\mathrm{/}n$ まで分かっているとき、$$a_{2n}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2n}},$$$$a_{2n-1}=a_{2n}+{\displaystyle \frac{1}{2n(2n-1)}}={\displaystyle \frac{1}{2n-1}}\mathrm{.}$$強い帰納法により$$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}(n\geqq 1)\mathrm{.}$$