大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$P=(a\cos \theta ,a\sin \theta )$$ とおく。円の方程式は $$(x-a\cos \theta {)}^2+(y-a\sin \theta {)}^2=1$$ である。 $x$軸との交点では$y=0$なので $$(x-a\cos \theta {)}^2=1-a^2{\sin }^2\theta$$ である。したがって、2つの交点$A,C$の距離は $$AC=2\sqrt{1-a^2{\sin }^2\theta }$$ である。同様に、$y$軸との交点では$x=0$だから $$(y-a\sin \theta {)}^2=1-a^2{\cos }^2\theta$$ であり $$BD=2\sqrt{1-a^2{\cos }^2\theta }$$ である。

対角線$AC$は$x$軸上、対角線$BD$は$y$軸上にあるので、これらは直交する。直交する対角線をもつ四角形の面積は対角線の積の半分であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}AC\cdot BD}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{(1-a^2{\sin }^2\theta )(1-a^2{\cos }^2\theta )}}\end{array}$$である。

(2)
$S>0$なので$S^2$を最大にすればよい。(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^2}& {\displaystyle =4(1-a^2{\sin }^2\theta )(1-a^2{\cos }^2\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\{1-a^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )+a^4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(1-a^2+a^4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =(\sin \theta \cos \theta {)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}{\sin }^{2}2\theta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$であり、$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$において等号は $$2\theta ={90}^{\circ },\theta ={45}^{\circ }$$ のときに成り立つ。

したがって$$S^2\leqq 4(1-a^2+{\displaystyle \frac{a^4}{4}})=4{(1-{\displaystyle \frac{a^2}{2}})}^2$$である。$0<a<1$より$1-a^2\mathrm{/}2>0$だから $S\leqq 2-a^2$ である。よって最大値は $2-a^2$ であり、そのとき $\theta ={45}^{\circ }$ である。

円と座標軸の交点をすべて座標で書き、行列式による四角形の面積として計算する。最大化では ${\sin }^{2}2\theta$ を用いる代わりに $\cos 4\theta \geqq -1$ へ変形し、等号条件を読み取る。

(1) $$P=(a\cos \theta ,a\sin \theta )$$と置く。円と $x$ 軸との交点は$$(a\cos \theta \pm \sqrt{1-a^2{\sin }^2\theta },0),$$$y$ 軸との交点は$$(0,a\sin \theta \pm \sqrt{1-a^2{\cos }^2\theta })$$である。従って、座標軸上にある2本の対角線の長さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle AC}& {\displaystyle =2\sqrt{1-a^2{\sin }^2\theta },}\\ {\displaystyle BD}& {\displaystyle =2\sqrt{1-a^2{\cos }^2\theta }\mathrm{.}}\end{array}$$座標の行列式、すなわち4つの三角形の符号付き面積を足すと$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}AC\cdot BD\mathrm{.}$$ゆえに$$S=2\sqrt{(1-a^2{\sin }^2\theta )(1-a^2{\cos }^2\theta )}\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{S^2}{4}}}& {\displaystyle =1-a^2+a^4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-a^2+{\displaystyle \frac{a^4}{8}}(1-\cos 4\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$$\cos 4\theta \geqq -1$ より$${\displaystyle \frac{S^2}{4}}\leqq 1-a^2+{\displaystyle \frac{a^4}{4}}={(1-{\displaystyle \frac{a^2}{2}})}^2\mathrm{.}$$$0<a<1$ だから$$S\leqq 2-a^2\mathrm{.}$$等号は $\cos 4\theta =-1$ のときであり、
$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ では$$\theta ={45}^{\circ }$$だけである。従って最大値は$$2-a^2$$である。