大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

座標を、直線$l$が$x$軸、点$B$が原点、点$A$が $A=(0,h)$ となるようにとる。ただし$h\mathrm{\ne }0$である。このとき、直線$m$は原点を通り、$x$軸となす角が$\theta$の直線である。したがって$m$の方程式は $$y\cos \theta -x\sin \theta =0$$ である。 $P=(u,v)$ とおく。$P$は$l$上にないので$v\mathrm{\ne }0$である。$x$軸に関して対称な点は $Q=(u,-v)$ である。点$A$から見た$Q$の位置ベクトルは $(u,-v-h)$ である。これを角$2\theta$だけ回転すると$$(u\cos 2\theta +(v+h)\sin 2\theta ,u\sin 2\theta -(v+h)\cos 2\theta )$$である。したがって$$R=(u\cos 2\theta +(v+h)\sin 2\theta ,h+u\sin 2\theta -(v+h)\cos 2\theta )$$である。

線分$PR$の中点$M=(X_M,Y_M)$は $$X_M={\displaystyle \frac{u+u\cos 2\theta +(v+h)\sin 2\theta }{2}}$$ $$Y_M={\displaystyle \frac{v+h+u\sin 2\theta -(v+h)\cos 2\theta }{2}}$$ である。$M$が$m$上にあることを示すには $$Y_M\cos \theta -X_M\sin \theta =0$$ を示せばよい。 $c=\cos \theta$, $s=\sin \theta$, $w=v+h$とおく。倍角公式 $$\sin 2\theta =2sc,\cos 2\theta =c^2-s^2$$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2(Y_{M}c-X_{M}s)}& {\displaystyle =\{w+2usc-w(c^2-s^2)\}c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\{u+u(c^2-s^2)+2wsc\}s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =w(1-c^2+s^2)c-2w{s}^{2}c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2us{c}^2-u(1+c^2-s^2)s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2w{s}^{2}c-2w{s}^{2}c+us(2c^2-1-c^2+s^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =us(c^2+s^2-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$よって$$Y_M\cos \theta -X_M\sin \theta =0$$である。したがって$M$は直線$m$上にある。

直線 $l$ を実軸とする複素平面を使う。鏡映は共役、点Aを中心とする回転は $e^{2i\theta }$ の乗法で書ける。中点を $e^{-i\theta }$ 倍した値が実数になることを示せば、方向角 $\theta$ の直線 $m$ 上にあると結論できる。

直線 $l$ を実軸、$B$ を原点とし、$$A=ih(h\mathrm{\ne }0)$$と置く。点 $P$ を表す複素数を $z$ とすれば、$l$ に関する対称点は$$Q=\bar{z}$$である。

$Q$ をAのまわりに $2\theta$ 回転した点Rは$$R=ih+e^{2i\theta }(\bar{z}-ih)$$と表される。中点Mを表す複素数は$$M={\displaystyle \frac{1}{2}}\{z+ih+e^{2i\theta }(\bar{z}-ih)\}\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2e^{-i\theta }M}& {\displaystyle =e^{-i\theta }z+e^{i\theta }\bar{z}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +ih(e^{-i\theta }-e^{i\theta })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\mathrm{Re}(e^{-i\theta }z)+2h\sin \theta \mathrm{.}}\end{array}$$右辺は実数である。従って $e^{-i\theta }M$ は実数、すなわちMの位置ベクトルの偏角は $\theta$ または $\theta +\pi$ である。

直線 $m$ は原点Bを通り、実軸 $l$ を角 $\theta$ だけ回転した直線だから、Mは $m$ 上にある。