大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
平面 $\alpha$ は $${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{a}}+z=1$$ であるから、法線ベクトルを $${\vec{n}}_{\alpha }=({\displaystyle \frac{1}{a}},{\displaystyle \frac{1}{a}},1)$$ とおける。原点からこの平面に下ろした垂線の足は、$\lambda {\vec{n}}_{\alpha }$ の形である。平面の式に代入すると $$\lambda \mathrm{\mid }{\vec{n}}_{\alpha }{\mathrm{\mid }}^2=1$$ であり、$$\mathrm{\mid }{\vec{n}}_{\alpha }{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{2}{a^2}}+1={\displaystyle \frac{a^2+2}{a^2}}$$ だから、垂線の足は ${\displaystyle \frac{{\vec{n}}_{\alpha }}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_{\alpha }{\mathrm{\mid }}^2}}$ である。原点の対称点はこの足を中点にする点なので$$C={\displaystyle \frac{2{\vec{n}}_{\alpha }}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_{\alpha }{\mathrm{\mid }}^2}}=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a^2}{a^2+2}})$$である。

同様に $\beta$ の法線ベクトルは $${\vec{n}}_{\beta }=({\displaystyle \frac{1}{a}},{\displaystyle \frac{1}{a}},-1)$$ であり、$$\mathrm{\mid }{\vec{n}}_{\beta }{\mathrm{\mid }}^2=(a^2+2)\mathrm{/}{a}^2$$ なので $$D=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},-{\displaystyle \frac{2a^2}{a^2+2}})$$ である。

(2)
(1) より、直線 $CD$ は $$x=y={\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}}$$ を満たす $z$ 軸方向の直線である。したがって平面 $z=0$ との交点を $E$ とすると $$E=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},0)$$ である。

三角形 $ABO$ は平面 $z=0$ 上で $$x\geqq 0,y\geqq 0,x+y\leqq a$$ と表される。$E$ の $x,y$ 座標は正なので、必要十分条件は $${\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}}+{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}}\leqq a$$ である。$a>0$ より両辺を $a$ で割って ${\displaystyle \frac{4}{a^2+2}}\leqq 1$ すなわち $a^2\geqq 2$ である。よって求める範囲は $${\displaystyle a\geqq \sqrt{2}}$$ である。

(3) $a=2$ のとき、(1) より$$C=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}}),D=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{4}{3}})$$である。

点 $C$ は原点 $O$ を平面 $\alpha$ に関して対称移動した点であるから、$P$ が $\alpha$ 上にあるとき $OP=CP$ である。同様に、$Q$ が $\beta$ 上にあるとき $QO=QD$ である。したがって $OP+PQ+QO=CP+PQ+QD$ である。右辺は $C$ から $P$、$Q$ を通って $D$ へ行く折れ線の長さなので、三角不等式より $CP+PQ+QD\geqq CD$ である。

ここで $CD={\displaystyle \frac{8}{3}}$ である。等号が成り立つのは、$C,P,Q,D$ がこの順に一直線上に並ぶときである。直線 $CD$ は $x=y={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。

この直線と $\alpha$ の交点を求める。$a=2$ なので $\alpha$ は $${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}+z=1$$ であり、$x=y=2\mathrm{/}3$ を代入すると ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+z=1$ より $z=1\mathrm{/}3$ である。したがって $$P=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。同様に $\beta$ は $${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}-z=1$$ だから、$x=y=2\mathrm{/}3$ を代入して $z=-1\mathrm{/}3$ を得る。よって $$Q=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。

以上より、最小値は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{3}}}$ で、そのとき$${\displaystyle P=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}}),Q=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})}$$である。

平面の式を $x+y\pm az=a$ とし、原点と対称点を結ぶ直線が
法線方向であることから座標を直接決める。(3)は2回の鏡映で
折れ線を直線 $CD$ へ延ばし、交点の順序まで確認する。

(1)

$\alpha$ の法線方向は $(1,1,a)$ である。
原点からの垂線の足を $s(1,1,a)$ とすると$$s+s+a^{2}s=a,$$よって $s=a\mathrm{/}(a^2+2)$ である。対称点は足の2倍なので$$C=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a^2}{a^2+2}})\mathrm{.}$$同様に$$D=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},-{\displaystyle \frac{2a^2}{a^2+2}})\mathrm{.}$$(2)

$CD$ と $z=0$ の交点は$$E=({\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},{\displaystyle \frac{2a}{a^2+2}},0)\mathrm{.}$$$\mathrm{△}ABO$ は $x,y\geqq 0,x+y\leqq a$ だから$${\displaystyle \frac{4a}{a^2+2}}\leqq a\mathrm{.}$$$a>0$ より$$a\geqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)

$a=2$ では$$C=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}}),D=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{4}{3}})\mathrm{.}$$$P\in \alpha ,Q\in \beta$ なら鏡映の性質により$$OP=CP,QO=QD\mathrm{.}$$したがって$$OP+PQ+QO=CP+PQ+QD\geqq CD={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}$$直線 $CD$ と $\alpha ,\beta$ の交点は順に$$P=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}}),Q=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})\mathrm{.}$$$C,P,Q,D$ はこの順に並ぶので等号は実現する。よって最小値は$${\displaystyle \frac{8}{3}}$$であり、最小時の $P,Q$ は上記の点である。