大阪大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
点 $P(x,y,z)$ の $xy$ 平面への射影と原点との距離を $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ とする。円 $C_1$ は高さ $z=\sqrt{2}$ の平面上で、中心の水平位置は原点、半径は $\sqrt{2}$ である。したがって、水平面内で $P$ の射影から $C_1$ までの最短距離は $\mathrm{\mid }r-\sqrt{2}\mathrm{\mid }$ である。高さの差は $z-\sqrt{2}$ なので $$m=\sqrt{(r-\sqrt{2}{)}^2+(z-\sqrt{2}{)}^2}$$ である。

同様に、円 $C_2$ は高さ $z=-\sqrt{2}$ にある。$C_2$ 上の点と $P$ の距離を最大にするには、水平面内で $P$ の射影と反対側の円周上の点を取ればよいので、水平距離は $r+\sqrt{2}$ である。高さの差は $z+\sqrt{2}$ だから $$M=\sqrt{(r+\sqrt{2}{)}^2+(z+\sqrt{2}{)}^2}$$ である。

(2) $rz$ 平面で点 $P$ を $(r,z)$ と見る。ただし $r\geqq 0$ である。(1)より $m=PB,M=PA$ と書ける。ただし $$A=(-\sqrt{2},-\sqrt{2}),B=(\sqrt{2},\sqrt{2})$$ である。この2点間の距離は $AB=4$ である。

条件は $\mathrm{\mid }M-2\sqrt{6}\mathrm{\mid }\geqq m$ である。もし $M\geqq 2\sqrt{6}$ なら、条件は $M-2\sqrt{6}\geqq m$、すなわち $M-m\geqq 2\sqrt{6}$ を意味する。しかし三角形の辺の関係より $M-m\leqq AB=4$ であり、$2\sqrt{6}>4$ なので不可能である。

したがって必ず $M<2\sqrt{6}$ であり、このとき条件は $2\sqrt{6}-M\geqq m$ すなわち $M+m\leqq 2\sqrt{6}$ である。これは、焦点 $A,B$、長半径 $\sqrt{6}$ の楕円の内部および周上を表す。焦点間距離の半分は $2$ なので、短半径は $$\sqrt{(\sqrt{6}{)}^2-2^2}=\sqrt{2}$$ である。

座標を $$u={\displaystyle \frac{r+z}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{r-z}{\sqrt{2}}}$$ とおくと、焦点は $(u,v)=(-2,0),(2,0)$ となる。したがって楕円は ${\displaystyle \frac{u^2}{6}}+{\displaystyle \frac{v^2}{2}}\leqq 1$ で表される。また $$r={\displaystyle \frac{u+v}{\sqrt{2}}}$$ であるから、実際に回転させる断面はこの楕円のうち $u+v\geqq 0$ の部分である。

体積は、$rz$ 平面の断面を $z$ 軸のまわりに回転して $V=2\pi {\iint }_{D}rdrdz$ で求められる。ここで $D$ は上の半楕円領域である。変換 $(u,v)\mapsto (r,z)$ の面積倍率は $1$ である。さらに $$u=\sqrt{6}X,v=\sqrt{2}Y$$ とおくと、$X^2+Y^2\leqq 1$ であり、面積倍率は $2\sqrt{3}$ である。また $r=\sqrt{3}X+Y$ で、条件は $\sqrt{3}X+Y\geqq 0$ となる。

単位円を、直線 $\sqrt{3}X+Y=0$ に垂直な軸で見る。$W=(\sqrt{3}X+Y)\mathrm{/}2$ とおけば、半円は $W\geqq 0$ であり、$r=2W$ である。単位半円において$${\iint }_{W\geqq 0}WdXdY={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\int }_0^1\rho \cos \varphi \cdot \rho d\rho d\varphi ={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。したがって$${\iint }_{D}rdrdz=2\sqrt{3}{\iint }_{W\geqq 0}2WdXdY=2\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}$$である。ゆえに体積は $$V=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{16\sqrt{3}\pi }{3}}$$ である。

距離条件を焦点距離の和が一定以下となる楕円へ直す。楕円を単位円へ変換した後、$r\geqq 0$ の半円を回転軸に垂直な座標 $W$ で縦に切り、円筒殻の積分を1変数積分として計算する。

(1)
$P$ の $xy$ 平面への射影と原点との距離を $r$ とする。$C_1$ までの水平最短距離は $\mathrm{\mid }r-\sqrt{2}\mathrm{\mid }$、高さの差は $z-\sqrt{2}$ だから$$m=\sqrt{(r-\sqrt{2}{)}^2+(z-\sqrt{2}{)}^2}\mathrm{.}$$$C_2$ までの水平最大距離は $r+\sqrt{2}$、高さの差は $z+\sqrt{2}$ だから$$M=\sqrt{(r+\sqrt{2}{)}^2+(z+\sqrt{2}{)}^2}\mathrm{.}$$(2)
$rz$ 平面で$$A=(-\sqrt{2},-\sqrt{2}),B=(\sqrt{2},\sqrt{2})$$とすれば $M=PA,m=PB,AB=4$ である。

$M\geqq 2\sqrt{6}$ なら条件から $M-m\geqq 2\sqrt{6}$ となるが、$$M-m\leqq AB=4<2\sqrt{6}$$に反する。従って条件は$$M+m\leqq 2\sqrt{6}$$と同値である。これは焦点 $A,B$、長半径 $\sqrt{6}$、短半径 $\sqrt{2}$ の楕円内部である。$$u={\displaystyle \frac{r+z}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{r-z}{\sqrt{2}}}$$とすると$${\displaystyle \frac{u^2}{6}}+{\displaystyle \frac{v^2}{2}}\leqq 1.$$さらに $u=\sqrt{6}X,v=\sqrt{2}Y$ と置けば単位円になり、面積倍率は $2\sqrt{3}$、かつ$$r=\sqrt{3}X+Y\mathrm{.}$$単位円内で$$W={\displaystyle \frac{\sqrt{3}X+Y}{2}}$$を一方の直交座標とすれば $r=2W$、条件 $r\geqq 0$ は $W\geqq 0$ である。もう一方の座標を $T$ とする。

従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\iint }_{D}rdrdz}& {\displaystyle =2\sqrt{3}{\int }_0^1{\int }_{-\sqrt{1-W^2}}^{\sqrt{1-W^2}}2WdTdW}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\sqrt{3}{\int }_0^{1}W\sqrt{1-W^2}dW}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$この断面を $z$ 軸の周りに回すから$$V=2\pi {\iint }_{D}rdrdz={\displaystyle \frac{16\sqrt{3}\pi }{3}}\mathrm{.}$$