大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

立体 $K$ は、どの高さ $z=a$ で切っても、$xy$ 平面内の同じ正三角形 $(0,0),(1,0),({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ を断面にもつ柱である。したがって $K$ に属する点は、$(x,y)$ がこの三角形の内部または周上にある点である。

この三角形で、$x$ を固定したときの $y$ の範囲を求める。$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ では左辺の直線が $y=\sqrt{3}x$ であり、$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1$ では右辺の直線が $y=\sqrt{3}(1-x)$ である。したがって $K$ が許す $y$ 方向の長さは$$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ で }\sqrt{3}x,{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1\text{ で }\sqrt{3}(1-x)$$である。

一方、立体 $L$ は、どの $y=a$ で切っても、$xz$ 平面内の三角形$$(0,0),(0,{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}),(1,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$$を断面にもつ柱である。この三角形で $x$ を固定すると、下側の直線は $$z={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$$ であり、上側の直線は $$z={\displaystyle \frac{2-x}{\sqrt{3}}}$$ である。したがって $L$ が許す $z$ 方向の長さは $${\displaystyle \frac{2-x}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2(1-x)}{\sqrt{3}}}$$ である。

共通部分では、同じ $x$ に対して、$y$ の条件と $z$ の条件は独立に決まる。よって $x$ における断面積は「$y$ 方向の長さ $\times$ $z$ 方向の長さ」である。したがって求める体積 $V$ は$$V={\int }_0^{1\mathrm{/}2}\sqrt{3}x\cdot {\displaystyle \frac{2(1-x)}{\sqrt{3}}}dx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\sqrt{3}(1-x)\cdot {\displaystyle \frac{2(1-x)}{\sqrt{3}}}dx$$である。整理すると$$V={\int }_0^{1\mathrm{/}2}2x(1-x)dx+{\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}2(1-x{)}^{2}dx$$である。

それぞれ計算して$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}2x(1-x)dx={[x^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3]}_0^{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$であり、$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}2(1-x{)}^{2}dx={[-{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-x{)}^3]}_{1\mathrm{/}2}^1={\displaystyle \frac{1}{12}}$$である。よって $$V={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}}$$ である。

共通部分を、$K$ の底面となる $xy$ 平面上の正三角形へ射影する。点 $(x,y)$ の真上で $L$ が許す $z$ の長さは $2(1-x)\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。三角形上の一次関数の平均値は重心での値に等しいことを使えば、区分積分なしで体積が求まる。

$K$ の $xy$ 平面への射影を $T$ とする。これは頂点$$(0,0),(1,0),({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$をもつ正三角形であり、面積は$$\mathrm{\mid }T\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$である。

一方、$L$ の $xz$ 断面では$${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\leqq z\leqq {\displaystyle \frac{2-x}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$従って、$T$ 内の点 $(x,y)$ を固定したとき、共通部分に含まれる $z$ の長さは$${\displaystyle \frac{2-x}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2(1-x)}{\sqrt{3}}}$$である。

共通部分は、三角形 $T$ の各点の真上にこの長さを立てた立体である。三角形を底面とし、高さが底面上の一次関数で表される立体の体積は$$\text{底面積}\times {\displaystyle \frac{\text{3頂点での高さの和}}{3}}$$である。これは、底面を3本の中線で分け、各部分を三角錐に分解すれば得られる。

$T$ の3頂点の $x$ 座標は $0,1,1\mathrm{/}2$ だから、高さ$${\displaystyle \frac{2(1-x)}{\sqrt{3}}}$$の3頂点での値の平均は$${\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}+0+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }T\mathrm{\mid }\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$