大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

3つの頂点がすべて有理点である正三角形が存在すると仮定する。そのうち2点を $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ とする。ここで $x_1,y_1,x_2,y_2$ はすべて有理数であり、$A\mathrm{\ne }B$ である。

線分 $AB$ の中点は $({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}},{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}})$ である。また、ベクトル $(x_2-x_1,y_2-y_1)$ を ${90}^{\circ }$ 回転したベクトルは $(-(y_2-y_1),x_2-x_1)$ である。正三角形の第三の頂点は、中点からこの垂直方向へ $\sqrt{3}\mathrm{/}2$ 倍だけ進んだ点なので、2通りの候補は$$({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\mp {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(y_2-y_1),{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(x_2-x_1))$$である。

この第三の頂点も有理点であるとする。$A\mathrm{\ne }B$ なので、$x_2-x_1$, $y_2-y_1$ の少なくとも一方は0でない有理数である。

もし $y_2-y_1\mathrm{\ne }0$ なら、第三頂点の $x$ 座標が有理数であることから ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(y_2-y_1)$ が有理数になる。$y_2-y_1$ は非零有理数なので、これは $\sqrt{3}$ が有理数であることを意味し、矛盾である。

もし $y_2-y_1=0$ なら、必ず $x_2-x_1\mathrm{\ne }0$ である。この場合は第三頂点の $y$ 座標が有理数であることから ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(x_2-x_1)$ が有理数になり、やはり $\sqrt{3}$ が有理数となって矛盾する。

したがって、3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しない。

有理点を頂点にもつ三角形の面積は、座標による面積公式から有理数である。一方、正三角形では「一辺の長さの2乗」は正の有理数であり、面積はその $\sqrt{3}\mathrm{/}4$ 倍である。この2通りの面積表示を比較して矛盾を導く。

3頂点がすべて有理点である正三角形 $ABC$ が存在すると仮定する。

有理点を頂点にもつ三角形の面積は有理数である。実際、$$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$$とすると、その面積 $S$ は$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\mid$$であり、右辺は有理数である。

一方、正三角形の一辺を $AB$ とすると$$A{B}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$$は正の有理数である。正三角形の面積公式より$$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}A{B}^2\mathrm{.}$$もし $S$ が有理数なら$$\sqrt{3}={\displaystyle \frac{4S}{A{B}^2}}$$も有理数になってしまう。これは $\sqrt{3}$ が無理数であることに反する。

従って、3頂点がすべて有理点である正三角形は存在しない。