大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点$Q$は線分$OP$上にあるので $Q=(\lambda s,\lambda t)$ とおく。ただし$\lambda >0$である。

双曲線 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{c^2}}=1$$ の点$P(s,t)$における接線は $${\displaystyle \frac{sx}{a^2}}-{\displaystyle \frac{ty}{c^2}}=1$$ である。これが$x$軸と交わる点は、$y=0$として $$A=({\displaystyle \frac{a^2}{s}},0)$$ である。この接線、すなわち直線$PA$の傾きは ${\displaystyle \frac{s{c}^2}{a^{2}t}}$ である。

一方、楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ の点$Q=(\lambda s,\lambda t)$における接線は $${\displaystyle \frac{\lambda sx}{a^2}}+{\displaystyle \frac{\lambda ty}{b^2}}=1$$ である。したがって $$B=({\displaystyle \frac{a^2}{\lambda s}},0)$$ であり、直線$QB$の傾きは $-{\displaystyle \frac{s{b}^2}{a^{2}t}}$ である。

直線$PA$と$QB$が直交するから、2つの傾きの積は$-1$である。よって $${\displaystyle \frac{s{c}^2}{a^{2}t}}(-{\displaystyle \frac{s{b}^2}{a^{2}t}})=-1$$ すなわち $s^2{b}^2{c}^2=a^4{t}^2$ である。$s,t,b,c>0$なので $$t={\displaystyle \frac{sbc}{a^2}}$$ である。

また$P$は双曲線上にあるから $${\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{t^2}{c^2}}=1$$ である。ここに$t=sbc\mathrm{/}{a}^2$を代入すると $${\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{s^2{b}^2}{a^4}}=1$$ であり $s^2(a^2-b^2)=a^4$ となる。$s>0$より $$s={\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}}$$ である。したがって $$t={\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{a^2-b^2}}}$$ である。ゆえに $$P=({\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}},{\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{a^2-b^2}}})$$ である。

(2)
(1)より $$A=({\displaystyle \frac{a^2}{s}},0)=(\sqrt{a^2-b^2},0)$$ である。楕円$x^2\mathrm{/}{a}^2+y^2\mathrm{/}{b}^2=1$の焦点は $(\pm \sqrt{a^2-b^2},0)$ であるから、$A$は楕円の右焦点である。

次に$B$を求める。$Q=\lambda P$が楕円上にあるので $${\lambda }^2({\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}})=1$$ である。(1)の$s,t$を代入すると$${\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}}={\displaystyle \frac{a^2}{a^2-b^2}}+{\displaystyle \frac{c^2}{a^2-b^2}}={\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-b^2}}$$である。よって $$\lambda ={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+c^2}}}$$ である。したがって $$B=({\displaystyle \frac{a^2}{\lambda s}},0)=(\sqrt{a^2+c^2},0)$$ である。双曲線$x^2\mathrm{/}{a}^2-y^2\mathrm{/}{c}^2=1$の焦点は $(\pm \sqrt{a^2+c^2},0)$ であるから、$B$は双曲線の右焦点である。

(3)
条件 $$a^2-b^2=k^2,a^2+c^2=1$$ より、(2)の結果から $A=(k,0),B=(1,0)$ である。また(1)より $$P=({\displaystyle \frac{a^2}{k}},{\displaystyle \frac{bc}{k}})$$ である。さらに$\lambda =k$なので $Q=(a^2,bc)$ である。

直線$PA$の傾きは $${\displaystyle \frac{bc\mathrm{/}k}{a^2\mathrm{/}k-k}}={\displaystyle \frac{bc}{a^2-k^2}}={\displaystyle \frac{c}{b}}$$ である。直線$QB$の傾きは $${\displaystyle \frac{bc}{a^2-1}}=-{\displaystyle \frac{b}{c}}$$ である。交点$R$の$y$座標を求めるため、直線$PA$, $QB$を $$y={\displaystyle \frac{c}{b}}(x-k),y=-{\displaystyle \frac{b}{c}}(x-1)$$ と書く。これらを連立すると $${\displaystyle \frac{c}{b}}(x-k)=-{\displaystyle \frac{b}{c}}(x-1)$$ より $c^2(x-k)=-b^2(x-1)$ であり $$x={\displaystyle \frac{b^2+c^{2}k}{b^2+c^2}}$$ である。したがって$$y={\displaystyle \frac{c}{b}}({\displaystyle \frac{b^2+c^{2}k}{b^2+c^2}}-k)={\displaystyle \frac{bc(1-k)}{b^2+c^2}}$$である。

ここで $$b^2+c^2=(a^2-k^2)+(1-a^2)=1-k^2$$ は一定である。また$0<k<1$なので$1-k>0$である。したがって$R$の$y$座標を最大にするには、$b^2+c^2$一定のもとで$bc$を最大にすればよい。 $(b-c{)}^2\geqq 0$ より $2bc\leqq b^2+c^2$ であり、等号は$b=c$のときである。よって最大となるのは $$b^2=c^2={\displaystyle \frac{1-k^2}{2}}$$ のときである。$b,c>0$だから $$b=c=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-k^2}{2}}}$$ であり、さらに $$a^2=b^2+k^2={\displaystyle \frac{1+k^2}{2}}$$ である。したがって求める値は $$a=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+k^2}{2}}},b=c=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-k^2}{2}}}$$ である。

双曲線上の点を $P=(a\sec \varphi ,c\tan \varphi )$ と置く。2接線の傾きの積を $\sin \varphi$ だけの式にすると、直交条件から $\sin \varphi =b\mathrm{/}a$ が直ちに得られる。残りは焦点距離と相加相乗平均で処理する。

(1)
$P$ を$$P=(a\sec \varphi ,c\tan \varphi ),0<\varphi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$と表す。双曲線の接線 $PA$ の傾きは$${\displaystyle \frac{s{c}^2}{a^{2}t}}={\displaystyle \frac{c}{a\sin \varphi }},$$楕円の接線 $QB$ の傾きは$$-{\displaystyle \frac{s{b}^2}{a^{2}t}}=-{\displaystyle \frac{b^2}{ac\sin \varphi }}\mathrm{.}$$積が $-1$ だから$${\sin }^2\varphi ={\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}\mathrm{.}$$従って $\sin \varphi =b\mathrm{/}a$ であり、$$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}}\mathrm{.}$$ゆえに$$P=({\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}},{\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{a^2-b^2}}})\mathrm{.}$$(2)
双曲線接線の $x$ 切片は$$A=({\displaystyle \frac{a^2}{s}},0)=(\sqrt{a^2-b^2},0),$$すなわち楕円の右焦点である。

$Q=\lambda P$ とすると、楕円の式から$$\lambda ={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+c^2}}}\mathrm{.}$$従って楕円接線の $x$ 切片は$$B=({\displaystyle \frac{a^2}{\lambda s}},0)=(\sqrt{a^2+c^2},0),$$すなわち双曲線の右焦点である。

(3)
条件から$$A=(k,0),B=(1,0),$$また$$P=({\displaystyle \frac{a^2}{k}},{\displaystyle \frac{bc}{k}}),Q=(a^2,bc)\mathrm{.}$$2接線は$$y={\displaystyle \frac{c}{b}}(x-k),y=-{\displaystyle \frac{b}{c}}(x-1)$$だから、交点Rの $y$ 座標は$$y_R={\displaystyle \frac{bc(1-k)}{b^2+c^2}}\mathrm{.}$$ここで$$b^2+c^2=1-k^2$$は一定である。相加相乗平均より $bc$ は $b=c$ のとき最大となる。従って$$a=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+k^2}{2}}},b=c=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-k^2}{2}}}\mathrm{.}$$