大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とおく。$P$ は原点以外の点なので $p\mathrm{\ne }0,P(p,{\displaystyle \frac{p^2}{2}})$ である。放物線 $y=x^2\mathrm{/}2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=x$ だから、$P$ における接線 $l_1$ は $$y-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}=p(x-p)$$ すなわち $$y=px-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}$$ である。これに直交する直線 $l_2$ の傾きは $-1\mathrm{/}p$ なので $$y-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{p}}(x-p)$$ である。 $l_2$ と放物線が再び交わる点を $Q(q,{\displaystyle \frac{q^2}{2}})$ とおく。$Q$ は $l_2$ 上にあるから $${\displaystyle \frac{q^2}{2}}-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{p}}(q-p)$$ である。左辺を因数分解して $${\displaystyle \frac{(q-p)(q+p)}{2}}=-{\displaystyle \frac{q-p}{p}}$$ となる。$Q$ は $P$ とは異なるので $q-p\mathrm{\ne }0$ であり、両辺を $q-p$ で割って $${\displaystyle \frac{q+p}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{p}}$$ を得る。したがって $q=-p-{\displaystyle \frac{2}{p}}$ である。

点 $Q$ における接線 $l_3$ は $$y=qx-{\displaystyle \frac{q^2}{2}}$$ である。$l_1$ と $l_3$ の交点を $R(x,y)$ とすると $$px-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}=qx-{\displaystyle \frac{q^2}{2}}$$ であるから、$p\mathrm{\ne }q$ より $$x={\displaystyle \frac{p+q}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{p}}$$ である。これを $l_1$ の式に代入して $$y=p(-{\displaystyle \frac{1}{p}})-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}=-1-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}$$ である。$x=-1\mathrm{/}p$ より $p=-1\mathrm{/}x$ だから、求める関係は $${\displaystyle y=-1-{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}(x\mathrm{\ne }0)}$$ である。

(2)
距離を二乗して比較する。まず$$R(-{\displaystyle \frac{1}{p}},-1-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}),P(p,{\displaystyle \frac{p^2}{2}})$$であるから $$P{R}^2={(p+{\displaystyle \frac{1}{p}})}^2+(p^2+1{)}^2$$ である。整理すると $$P{R}^2={\displaystyle \frac{(p^2+1{)}^2}{p^2}}+(p^2+1{)}^2={\displaystyle \frac{(p^2+1{)}^3}{p^2}}$$ である。

次に $$q-p=-2p-{\displaystyle \frac{2}{p}}=-{\displaystyle \frac{2(p^2+1)}{p}}$$ であり、法線の傾きが $-1\mathrm{/}p$ であることから $${\displaystyle \frac{q^2-p^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{p}}(q-p)={\displaystyle \frac{2(p^2+1)}{p^2}}$$ である。よって$$P{Q}^2=(q-p{)}^2+{\left({\displaystyle \frac{q^2-p^2}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4(p^2+1{)}^2}{p^2}}+{\displaystyle \frac{4(p^2+1{)}^2}{p^4}}$$ $$={\displaystyle \frac{4(p^2+1{)}^3}{p^4}}$$ である。

したがって $PR\geqq PQ$ は $${\displaystyle \frac{(p^2+1{)}^3}{p^2}}\geqq {\displaystyle \frac{4(p^2+1{)}^3}{p^4}}$$ と同値である。$p\mathrm{\ne }0$ かつ $(p^2+1{)}^3>0$ なので、両辺に $p^4\mathrm{/}(p^2+1{)}^3$ をかけて $p^2\geqq 4$ を得る。よって点 $P$ の $x$ 座標の範囲は $${\displaystyle p\leqq -2,2\leqq p}$$ である。

放物線上の点を、その $x$ 座標を使って$$T(t)=(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$$と表す。2点 $T(p),T(q)$ における接線の交点公式を先に作ると、$R$ の座標と距離の差がどちらも $q-p$ を因数にもつ形になり、計算を短くできる。

放物線上の点を$$T(t)=(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$$と書く。$T(t)$ における接線は$$y=tx-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$である。

$P=T(p)$, $Q=T(q)$ とする。$P$ における法線の傾きは $-1\mathrm{/}p$ であるから、弦 $PQ$ の傾きについて$${\displaystyle \frac{q^2-p^2}{2(q-p)}}={\displaystyle \frac{p+q}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{p}}\mathrm{.}$$従って$$p+q=-{\displaystyle \frac{2}{p}}\mathrm{.}$$(1)
2本の接線$$y=px-{\displaystyle \frac{p^2}{2}},y=qx-{\displaystyle \frac{q^2}{2}}$$の交点は$$R=({\displaystyle \frac{p+q}{2}},{\displaystyle \frac{pq}{2}})\mathrm{.}$$よって$$x_R=-{\displaystyle \frac{1}{p}},y_R={\displaystyle \frac{p}{2}}(-p-{\displaystyle \frac{2}{p}})=-1-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}\mathrm{.}$$$p=-1\mathrm{/}{x}_R$ を代入して$$y=-1-{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}(x\mathrm{\ne }0)$$を得る。

(2)
$P$ から $R$ への差は$$R-P=({\displaystyle \frac{q-p}{2}},{\displaystyle \frac{p(q-p)}{2}})$$なので$$P{R}^2={\displaystyle \frac{(q-p{)}^2(1+p^2)}{4}}\mathrm{.}$$一方$$Q-P=(q-p,{\displaystyle \frac{(q-p)(p+q)}{2}})=(q-p,-{\displaystyle \frac{q-p}{p}})$$より$$P{Q}^2=(q-p{)}^2(1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}})\mathrm{.}$$$q\mathrm{\ne }p$ なので共通因子を消すと$$P{R}^2\geqq P{Q}^2⟺{\displaystyle \frac{1+p^2}{4}}\geqq 1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}⟺(p^2+1)(p^2-4)\geqq 0.$$従って$$p\leqq -2\text{ または }p\geqq 2$$である。