大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第2問

(1) $$a_1=p-4(-q)=p+4q,a_2=p^2-4q^2$$ である。$m>1$ が $a_1$ と $a_2$ の公約数であるとする。$m\mid a_1$ より $p+4q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ であるから、$p\equiv -4q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ である。これを $a_2$ に用いると、$m\mid a_2$ より $$0\equiv p^2-4q^2\equiv 16q^2-4q^2=12q^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$ である。

ここで $p>2q$ なので、$p$ と $q$ は異なる素数である。したがって $p$ は $q$ で割れず、$$p+4q\equiv p\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$$ である。よって $a_1=p+4q$ は $q$ と互いに素であり、その約数である $m$ も $q$ と互いに素である。したがって $12q^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ から $m\mid 12$ である。

また $q\geqq 2$ かつ $p>2q$ より $p>4$ なので、$p$ は奇素数である。$4q$ は偶数だから、$p+4q$ は奇数である。よってその約数 $m$ も奇数である。$m\mid 12$ かつ $m$ が奇数で $m>1$ だから、$m=3$ である。

(2)

すべての $a_n$ が3の倍数であるためには、特に $a_1=p+4q$ が3の倍数でなければならない。$4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なので、これは $p+q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ と同値である。

逆に、$p+q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ とする。このとき $p\equiv -q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。また $4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから、任意の $n$ について $$a_n=p^n-4(-q{)}^n\equiv p^n-(-q{)}^n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。したがって、すべての $a_n$ が3の倍数である条件は $p+q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。

あとは $p>2q$ を満たす素数 $p,q$ のうち、$p+q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ かつ $pq$ が最小のものを探す。積を小さくするにはまず $q$ を小さく見る。$q=2$ のとき、$p>4$ であり、さらに $p+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。$p>4$ を満たす素数のうち、これを満たす最小のものは $p=7$ である。

したがって求める組は $p=7,q=2$ である。このとき $pq=14$ であり、$q\geqq 3$ なら積は少なくとも $pq>2q^2\geqq 18$ となるので、これより小さくはならない。

公約数を3へ絞る流れ

公約数の素因数 $\mathrm{\ell }$ を一つ取って法 $\mathrm{\ell }$ で考える。二つの合同式から $\mathrm{\ell }\mid 12$ を導き，奇素数であるため $\mathrm{\ell }=3$ と絞る。公約数そのものが3を超えないことも $m\mid 12$ から確認する。

(1)
まず$$a_1=p+4q,a_2=(p-2q)(p+2q)\mathrm{.}$$$m>1$ が両者を割るとする。$p>2q$ より $p,q$ は異なる素数であり，$$\gcd (m,q)=1.$$実際，$q\mid m$ なら $q\mid a_1$ から $q\mid p$ となって矛盾する。

$p\equiv -4q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ を $a_2$ へ代入すると$$0\equiv p^2-4q^2\equiv 12q^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\mathrm{.}$$$\gcd (m,q)=1$ だから $m\mid 12$。一方 $p$ は奇数で $4q$ は偶数なので $a_1$ は奇数，したがって $m$ も奇数である。よって $m>1$ を合わせると$$m=3\mathrm{.}$$(2)
すべての $a_n$ が3の倍数であるための必要条件は$$a_1=p+4q\equiv p+q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$これは十分でもある。実際 $p\equiv -q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なら任意の $n$ で$$a_n\equiv p^n-(-q{)}^n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$$q=2$ のとき $p>4$ かつ $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ を満たす最小の素数は $p=7$。このとき積は14である。$q\geqq 3$ なら$$pq>2q^2\geqq 18$$だからこれより小さくならない。ゆえに$$(p,q)=(7,2)\mathrm{.}$$