大阪大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

曲線 $y=c{x}^n$ と斜辺 $y=q(1-x)$ の交点の $x$ 座標を $r$ とする。すると$$0<r<1,c{r}^n=q(1-r)\mathrm{.}$$点 $Q$ を含む領域 $B$ の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\int }_0^r\{q(1-x)-c{x}^n\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =q\{r-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}-{\displaystyle \frac{r(1-r)}{n+1}}\}\mathrm{.}}\end{array}$$三角形全体の面積は $q\mathrm{/}2$ なので、二等分条件は$$r-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}-{\displaystyle \frac{r(1-r)}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}\text{(1)}$$左辺は $0\leqq r\leqq 1$ で狭義増加し、端点値は0と $1\mathrm{/}2$ だから、(1)を満たす $r=r_n$ はただ一つ存在する。

(1) $A$ を $x$ 軸のまわりに回転すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(A)}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^r{c}^2{x}^{2n}dx+\pi {\int }_r^1{q}^2(1-x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi q^2(1-r{)}^2\{{\displaystyle \frac{r}{2n+1}}+{\displaystyle \frac{1-r}{3}}\}\mathrm{.}}\end{array}$$また円筒殻法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(B)}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{r}x\{q(1-x)-c{x}^n\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi q\{{\displaystyle \frac{r^2}{2}}-{\displaystyle \frac{r^3}{3}}-{\displaystyle \frac{(1-r)r^2}{n+2}}\}\mathrm{.}}\end{array}$$括弧内はいずれも正である。従って $V(A)=V(B)$ を満たす正数 $q$ は$$q={\displaystyle \frac{2\{r^2\mathrm{/}2-r^3\mathrm{/}3-(1-r)r^2\mathrm{/}(n+2)\}}{(1-r{)}^2\{r\mathrm{/}(2n+1)+(1-r)\mathrm{/}3\}}}$$のただ一つである。

(2) (1)で定まる $r_n$ は、(1)と単調性から$$r_n⟶r$$となり、極限 $r$ は$$r-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$を満たす。$0<r<1$ より$$r=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$上の $q$ の式で極限をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(r^2\mathrm{/}2-r^3\mathrm{/}3)}{(1-r{)}^3\mathrm{/}3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r^2(3-2r)}{(1-r{)}^3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$

曲線と斜辺の交点の $x$ 座標を $r_n$ とする。面積二等分条件は $r_n$ の二次方程式になり、小さい方の解を明示できる。回転体の体積は平面領域の一次モーメントとして計算し、$V(A)$ は $q^2$、$V(B)$ は $q$ に比例することから唯一性を示す。

曲線と斜辺の交点を$$R(r,c{r}^n)$$とする。このとき$$c{r}^n=q(1-r)\mathrm{.}$$領域 $B$ の面積が三角形全体の半分 $q\mathrm{/}4$ であることから$$q(r-{\displaystyle \frac{r^2}{2}})-{\displaystyle \frac{c{r}^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{q}{4}}\mathrm{.}$$交点条件を代入すると$$r-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}-{\displaystyle \frac{r(1-r)}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$整理して$$(n-1)r^2-2nr+{\displaystyle \frac{n+1}{2}}=0.$$$0<r<1$ にある解は$$r=r_n={\displaystyle \frac{n-\sqrt{(n^2+1)\mathrm{/}2}}{n-1}}$$である。

(1)
$A$ には円板法、$B$ には円筒殻法を用いる。交点条件$$c={\displaystyle \frac{q(1-r)}{r^n}}$$を代入してそれぞれ1変数で積分すると$$V(A)=\pi q^2(1-r{)}^2\{{\displaystyle \frac{r}{2n+1}}+{\displaystyle \frac{1-r}{3}}\},$$$$V(B)=2\pi q\{{\displaystyle \frac{r^2}{2}}-{\displaystyle \frac{r^3}{3}}-{\displaystyle \frac{(1-r)r^2}{n+2}}\}\mathrm{.}$$2つの波括弧内は正である。従って $V(A)=V(B)$ を満たす正数 $q$ は$$q={\displaystyle \frac{2\{r^2\mathrm{/}2-r^3\mathrm{/}3-(1-r)r^2\mathrm{/}(n+2)\}}{(1-r{)}^2\{r\mathrm{/}(2n+1)+(1-r)\mathrm{/}3\}}}$$の1つだけである。

(2)
明示式から$$r_n⟶1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=:r\mathrm{.}$$従って上の $q$ の式で極限をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(r^2\mathrm{/}2-r^3\mathrm{/}3)}{(1-r{)}^3\mathrm{/}3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r^2(3-2r)}{(1-r{)}^3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$