阪大 2001年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

全項が非負で総和が $1 / 2$ なので、各 $a_{n}$ は $0 ≦ a_{n} ≦ 1 / 2$ であり、 $1 - a_{n} > 0$ が使える。(1)は $b_{n + 1} = b_{n} (1 - a_{n + 1})$ 、 $c_{n + 1} = c_{n} - a_{n + 1}$ を用いて帰納法を組む。(2)は(1)の証明中の2つの不等式が等号でなければならないことを逆にたどる。(3)は $b_{3} = 1 / 2$ と(1)、および全体の和から $c_{3} = 1 / 2$ を挟み撃ちで出し、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 / 2$ と $(1 - a_{1}) (1 - a_{2}) (1 - a_{3}) = 1 / 2$ を展開して、最初の3項のうち1つだけが $1 / 2$ になることを示す。

解答

はじめに、 $a_{n} ≧ 0$ かつ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 / 2$ であるから、各 $n$ について $0 ≦ a_{n} ≦ \frac{1}{2}$ である。したがって $1 - a_{n} > 0$ である。また部分和は $1 / 2$ 以下なので $\frac{1}{2} ≦ c_{n} ≦ 1$ である。

(1) $n = 1$ のとき $b_{1} = 1 - a_{1} = c_{1}$ であるから、 $b_{1} ≧ c_{1}$ は成り立つ。

ある $n$ で $b_{n} ≧ c_{n}$ が成り立つと仮定する。このとき $b_{n + 1} = b_{n} (1 - a_{n + 1})$ であり、 $1 - a_{n + 1} > 0$ だから $b_{n + 1} ≧ c_{n} (1 - a_{n + 1})$ である。一方 $c_{n + 1} = 1 - (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + a_{n + 1}) = c_{n} - a_{n + 1}$ なので $c_{n} (1 - a_{n + 1}) - c_{n + 1} = c_{n} - c_{n} a_{n + 1} - (c_{n} - a_{n + 1})$ $= a_{n + 1} (1 - c_{n}) ≧ 0$ である。よって $c_{n} (1 - a_{n + 1}) ≧ c_{n + 1}$ であり、したがって $b_{n + 1} ≧ c_{n + 1}$ である。数学的帰納法により、すべての $n$ について $b_{n} ≧ c_{n}$ が成り立つ。

(2) $b_{n + 1} = c_{n + 1}$ とする。(1)の証明より常に $b_{n + 1} = b_{n} (1 - a_{n + 1}) ≧ c_{n} (1 - a_{n + 1}) ≧ c_{n + 1}$ である。両端が等しいので、中央の不等式もすべて等号でなければならない。特に $b_{n} (1 - a_{n + 1}) = c_{n} (1 - a_{n + 1})$ である。 $1 - a_{n + 1} > 0$ だから、両辺を割って $b_{n} = c_{n}$ を得る。

(3) $b_{3} = 1 / 2$ とする。(1)より $\frac{1}{2} = b_{3} ≧ c_{3}$ である。一方、 $a_{n} ≧ 0$ かつ全体の和が $1 / 2$ なので $a_{1} + a_{2} + a_{3} ≦ \frac{1}{2}$ である。したがって $c_{3} = 1 - (a_{1} + a_{2} + a_{3}) ≧ \frac{1}{2}$ である。以上から $c_{3} = \frac{1}{2}$ である。

よって $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{1}{2}$ かつ $(1 - a_{1}) (1 - a_{2}) (1 - a_{3}) = \frac{1}{2}$ である。後者を展開すると $1 - (a_{1} + a_{2} + a_{3}) + (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{1}) - a_{1} a_{2} a_{3} = \frac{1}{2}$ である。 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 / 2$ を代入すると $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{1} = a_{1} a_{2} a_{3}$ を得る。

ここで $0 ≦ a_{i} ≦ 1 / 2$ である。もし $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ のうち2つ以上が正なら、たとえば正の2項の積が左辺に現れ、右辺 $a_{1} a_{2} a_{3}$ はそれに残りの1項をさらに掛けたもの以下である。残りの1項は高々 $1 / 2$ なので、左辺が右辺に等しくなることはできない。したがって、 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ のうち少なくとも2つは0である。

さらに和が $1 / 2$ であるから、残りの1つは $1 / 2$ である。よって $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (\frac{1}{2}, 0, 0), (0, \frac{1}{2}, 0), (0, 0, \frac{1}{2})$ の3通りである。これらの場合、すでに最初の3項の和が $1 / 2$ なので、 $n ≧ 4$ ではすべて $a_{n} = 0$ でなければならない。

したがって $b_{3} = 1 / 2$ となる数列は $3$ 種類である。

別解

解法2（差の漸化式と等号条件を追う）

方針

$d_{n} = b_{n} - c_{n}$ の漸化式を非負な2項の和として作り、帰納法と等号条件を同時に処理する。(3)では $d_{2}, d_{3}$ を具体化して3通りを分類する。

解答

全体の和が $1 / 2$ だから $0 ≦ a_{n} ≦ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ≦ c_{n} ≦ 1.$ (1)

$d_{n} = b_{n} - c_{n}$ とおくと $d_{1} = 0$ であり、 $d_{n + 1} = (1 - a_{n + 1}) d_{n} + a_{n + 1} (1 - c_{n})$ となる。右辺の係数と第2項は非負なので、帰納法から $b_{n} ≧ c_{n}$ がすべての $n$ で成り立つ。

(2)

$b_{n + 1} = c_{n + 1}$ なら、上の非負な2項の和が0になる。特に $(1 - a_{n + 1}) d_{n} = 0.$ $1 - a_{n + 1} > 0$ より $d_{n} = 0$ 、従って $b_{n} = c_{n} .$ (3) $\frac{1}{2} = b_{3} ≧ c_{3} ≧ \frac{1}{2}$ より $c_{3} = 1 / 2$ 、従って $d_{3} = 0$ である。また $d_{2} = a_{1} a_{2}, d_{3} = (1 - a_{3}) a_{1} a_{2} + a_{3} (a_{1} + a_{2}) .$ 非負な各項が0になるので $a_{1} a_{2} = 0, a_{3} (a_{1} + a_{2}) = 0.$ さらに $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 / 2$ だから $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (\frac{1}{2}, 0, 0), (0, \frac{1}{2}, 0), (0, 0, \frac{1}{2})$ の3通りである。いずれも $n ≧ 4$ では $a_{n} = 0$ となるので、求める数列は $3$ 種類である。

総評

積 $b_{n}$ と残量 $c_{n}$ の不等式を、帰納法と等号条件で追う問題。難度は高め、計算量は中程度で、目安時間は24〜28分。差 $d_{n} = b_{n} - c_{n}$ の漸化式を非負項の和にすると、(1)の帰納法、(2)の逆向き、(3)の3通りの分類を一つの仕組みで処理できる。

出典: 大阪大学 2001年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問