大阪大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $x=2n$ で高さ0にいる経路は、次の2歩で高さ0へ1通り、高さ2へ1通り進める。高さ2にいる経路は、高さ0へ1通り、高さ2へ2通り進める。従って$$a_{n+1}=a_n+b_n,b_{n+1}=a_n+2b_n\mathrm{.}$$また $x=2$ では $a_1=b_1=1$ である。

(2) $$a_{n+1}+t{b}_{n+1}=(1+t)a_n+(1+2t)b_n\mathrm{.}$$これが $a_n+t{b}_n$ の定数倍になるには、その公比を $\lambda$ として$$1+t=\lambda ,1+2t=\lambda t$$が必要である。消去すると$$t^2-t-1=0.$$従って$$t={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},t={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$どちらも実際に上の係数比較を満たす。

(3) $$\varphi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},\psi ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$とおく。$1+\varphi ={\varphi }^2$、$1+\psi ={\psi }^2$ であり、初期値から$$a_n+\varphi b_n={\varphi }^{2n},a_n+\psi b_n={\psi }^{2n}\mathrm{.}$$この二式を解くと$$b_n={\displaystyle \frac{{\varphi }^{2n}-{\psi }^{2n}}{\sqrt{5}}},a_n={\displaystyle \frac{{\varphi }^{2n-1}-{\psi }^{2n-1}}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$(4) $\mathrm{\mid }\psi \mathrm{\mid }<1<\varphi$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{\varphi }}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\mathrm{.}$$

2歩ごとの二状態遷移を作る。(2)は最初の3項が等比になる条件から $t$ を求め、漸化式で十分性を確認する。(3)では $b_n=a_{n+1}-a_n$ を用いて $b_n$ を消去し、$a_n$ の2階漸化式を解く。

(1)

偶数の $x$ 座標では高さは0または2である。高さ0から次の2歩で高さ0、2へ進む方法は各1通り、高さ2からはそれぞれ1通り、2通りである。従って$$a_{n+1}=a_n+b_n,b_{n+1}=a_n+2b_n,$$また$$a_1=b_1=1.$$(2)

初めの3組は$$(a_1,b_1)=(1,1),(a_2,b_2)=(2,3),(a_3,b_3)=(5,8)$$である。$a_n+t{b}_n$ が等比数列なら$$(2+3t{)}^2=(1+t)(5+8t)$$が必要で、整理すると$$t^2-t-1=0.$$よって候補は$$t={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},t={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$これらは $t^2=t+1$ を満たすので$$a_{n+1}+t{b}_{n+1}=(1+t)a_n+(1+2t)b_n=t^2(a_n+t{b}_n)\mathrm{.}$$従ってどちらも実際に等比数列を与える。

(3)

(1) から$$b_n=a_{n+1}-a_n\mathrm{.}$$これを $a_{n+2}=a_{n+1}+b_{n+1}$ と $b_{n+1}=a_n+2b_n$ に代入すると$$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n\mathrm{.}$$特性方程式の2根を$${\varphi }^2={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}},{\psi }^2={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}},\varphi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},\psi ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$と書く。初期値 $a_1=1,a_2=2$ を用いると$$a_n={\displaystyle \frac{{\varphi }^{2n-1}-{\psi }^{2n-1}}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$さらに $b_n=a_{n+1}-a_n$ から$$b_n={\displaystyle \frac{{\varphi }^{2n}-{\psi }^{2n}}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$(4)

$\mathrm{\mid }\psi \mathrm{\mid }<1<\varphi$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{\varphi }}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\mathrm{.}$$