大阪大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 漸化式を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}^2-2a_{n+1}^2}& {\displaystyle =(4a_n+3b_n{)}^2-2(3a_n+2b_n{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b_n^2-2a_n^2\mathrm{.}}\end{array}$$初項では$$b_1^2-2a_1^2=9-8=1$$なので、数学的帰納法により$$b_n^2-2a_n^2=1$$がすべての $n$ で成り立つ。

(2) $$c_n=\sqrt{2}{a}_n+b_n$$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =\sqrt{2}(3a_n+2b_n)+(4a_n+3b_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3+2\sqrt{2})c_n\mathrm{.}}\end{array}$$また$$c_1=3-2\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2}{)}^{-1}$$である。従って$$c_n=(3+2\sqrt{2}{)}^{n-2}\mathrm{.}$$(3) (1)より$$(\sqrt{2}{a}_n+b_n)(b_n-\sqrt{2}{a}_n)=1.$$すなわち$$b_n-\sqrt{2}{a}_n=c_n^{-1}$$なので$$b_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(c_n+c_n^{-1})\mathrm{.}$$$3+2\sqrt{2}>1$ であり、$c_n=1$ となるのは $n=2$ である。正数 $t$ に対して$$t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\geqq 2$$で、等号は $t=1$ のときだけだから、$b_n$ が最小となる番号は$$n=2$$である。

(4) $m=2$ である。$n\geqq 2$ では $c_n\geqq 1$ かつ $c_{n+1}>c_n$ である。関数$$h(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})$$は $t\geqq 1$ で増加するから$$b_{n+1}=h(c_{n+1})\geqq h(c_n)=b_n\mathrm{.}$$従って $n\geqq m$ なら $b_{n+1}\geqq b_n$ である。

行列の2つの固有方向に対応して
$c_n=b_n+\sqrt{2}{a}_n$、$d_n=b_n-\sqrt{2}{a}_n$ を同時に導入する。
両方が等比数列となるため、全小問を明示式から一括して処理できる。

$$\lambda =3+2\sqrt{2}$$とおく。このとき ${\lambda }^{-1}=3-2\sqrt{2}$ である。

(1) $$c_n=b_n+\sqrt{2}{a}_n,d_n=b_n-\sqrt{2}{a}_n$$とおく。漸化式から$$c_{n+1}=\lambda c_n,d_{n+1}={\lambda }^{-1}{d}_n\mathrm{.}$$初項は$$c_1={\lambda }^{-1},d_1=\lambda$$なので$$c_n={\lambda }^{n-2},d_n={\lambda }^{2-n}\mathrm{.}$$特に$$c_n{d}_n=b_n^2-2a_n^2=1,$$これで(1)が示された。

(2)
上で得た明示式から$$c_n=(3+2\sqrt{2}{)}^{n-2}$$である。

(3) $$b_n={\displaystyle \frac{c_n+d_n}{2}}={\displaystyle \frac{{\lambda }^{n-2}+{\lambda }^{2-n}}{2}}\mathrm{.}$$正数 $t$ について $t+t^{-1}\geqq 2$ であり、等号は $t=1$ のときに限る。
$\lambda >1$ だから ${\lambda }^{n-2}=1$ は $n=2$ のときだけである。
従って $b_n$ が最小となる番号は$$m=2.$$(4)
$k=n-2\geqq 0$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2(b_{n+1}-b_n)}& {\displaystyle ={\lambda }^{k+1}+{\lambda }^{-k-1}-{\lambda }^k-{\lambda }^{-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\lambda -1)({\lambda }^k-{\lambda }^{-k-1})\geqq 0.}\end{array}$$従って $n\geqq m$ なら $b_{n+1}\geqq b_n$ である。