大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $l\geqq 2$ であるから、数列 $l,l^2,l^3,\dots$ は限りなく大きくなる。したがって、与えられた自然数 $n$ に対して $k^n<l^m$ を満たす自然数 $m$ が存在する。

そのような $m$ のうち最小のものを取る。この最小性より、$m=1$ なら $l^{m-1}=1\leqq k^n$ であり、$m\geqq 2$ なら $m-1$ は条件 $k^n<l^{m-1}$ を満たさないので $l^{m-1}\leqq k^n$ である。よって $l^{m-1}\leqq k^n<l^m$ を満たす自然数 $m$ が存在する。

(2)
条件 $a_{kl}=a_k+a_l$ を繰り返し用いると $$a_{k^n}=n{a}_k,a_{l^m}=m{a}_l$$ である。また $l\geqq 2$ なので $l^2>l$ であり、単調性から $a_{l^2}>a_l$ である。一方 $a_{l^2}=a_l+a_l=2a_l$ だから $a_l>0$ である。

(1) で得た $m$ に対して $l^{m-1}\leqq k^n<l^m$ が成り立つ。数列 $\{a_k\}$ は増加するので $$a_{l^{m-1}}\leqq a_{k^n}<a_{l^m}$$ である。これを $a_{k^n}=n{a}_k$、$a_{l^{m-1}}=(m-1)a_l$、$a_{l^m}=m{a}_l$ と書き直すと $(m-1)a_l\leqq n{a}_k<m{a}_l$ である。$a_l>0$ で割って $${\displaystyle \frac{m-1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{a_k}{a_l}}<{\displaystyle \frac{m}{n}}$$ を得る。

一方、(1) の不等式に対数を取ると $$(m-1)\log l\leqq n\log k<m\log l$$ である。$l\geqq 2$ より $\log l>0$ だから $${\displaystyle \frac{m-1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}<{\displaystyle \frac{m}{n}}$$ である。

したがって ${\displaystyle \frac{a_k}{a_l}}$ と ${\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}$ は、どちらも $[{\displaystyle \frac{m-1}{n}},{\displaystyle \frac{m}{n}})$ という長さ ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ の区間に入る。よって $$-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{a_k}{a_l}}-{\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}$$ が成り立つ。

(3)
(2) で $l=2$ とする。$k\geqq 2$ について、任意の自然数 $n$ に対して $$-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{a_k}{a_2}}-{\displaystyle \frac{\log k}{\log 2}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}$$ が成り立つ。もし ${\displaystyle \frac{a_k}{a_2}}-{\displaystyle \frac{\log k}{\log 2}}$ が0でないなら、その絶対値を $\delta >0$ として、$$n>{\displaystyle \frac{1}{\delta }}$$ を取ると上の不等式に反する。したがって $${\displaystyle \frac{a_k}{a_2}}={\displaystyle \frac{\log k}{\log 2}}$$ である。 $a_2=a$ より、$k\geqq 2$ では $$a_k=a{\displaystyle \frac{\log k}{\log 2}}$$ である。また $k=l=1$ を $a_{kl}=a_k+a_l$ に代入すると $a_1=a_1+a_1$ より $a_1=0$ である。これは上の式に $k=1$ を入れた値 $$a{\displaystyle \frac{\log 1}{\log 2}}=0$$ と一致する。よって一般項は $$a_k=a{\displaystyle \frac{\log k}{\log 2}}(k=1,2,3,\dots )$$ である。

(1) の最小整数を床関数で表す。(3) では (2) の一般論を経由せず、任意の $k$ に対して $2^{r_n}\leqq k^n<2^{r_n+1}$ と置き、単調性で $n{a}_k$ をはさんで極限を取る。

(1) $$m=\lfloor n{\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}\rfloor +1$$とおけば$$m-1\leqq n{\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}<m\mathrm{.}$$$\log l>0$ なので指数へ戻して$$l^{m-1}\leqq k^n<l^m$$を得る。

(2)
$a_{r^j}=j{a}_r$ は条件を繰り返せば従う。また$$a_{l^2}=2a_l>a_l$$より $a_l>0$ である。(1) と単調性から$$(m-1)a_l\leqq n{a}_k<m{a}_l\mathrm{.}$$一方、(1) の対数を取れば$${\displaystyle \frac{m-1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}<{\displaystyle \frac{m}{n}}\mathrm{.}$$したがって$$\mid {\displaystyle \frac{a_k}{a_l}}-{\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}\mid <{\displaystyle \frac{1}{n}}\mathrm{.}$$(3)
$a_2=a$ とする。狭義増加性と $a_4=2a_2$ から $a>0$ である。固定した $k\geqq 2$ と自然数 $n$ に対し$$r_n=\lfloor n{\log }_{2}k\rfloor$$とおくと$$2^{r_n}\leqq k^n<2^{r_n+1}\mathrm{.}$$よって$$r_{n}a\leqq n{a}_k<(r_n+1)a\mathrm{.}$$$na>0$ で割ると$${\displaystyle \frac{r_n}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{a_k}{a}}<{\displaystyle \frac{r_n+1}{n}}\mathrm{.}$$両端はともに ${\log }_{2}k$ へ収束するので$$a_k=a{\log }_{2}k=a{\displaystyle \frac{\log k}{\log 2}}\mathrm{.}$$また $a_1=a_1+a_1$ より $a_1=0$ で、同じ式に含まれる。