大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第1問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6ax+b$ である。3次関数 $f(x)$ が極値をもつためには、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ が異なる2つの実数解をもてばよい。したがって判別式が正であることが条件である。 $(6a{)}^2-4\cdot 3b>0$ より $36a^2-12b>0$ である。したがって $b<3a^2$ が求める条件である。

(2) $f(x)$ が $x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小をとるとする。このとき $\alpha ,\beta$ は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ の2つの解である。よって $3x^2+6ax+b=0$ の解と見れば、$$\alpha +\beta =-2a,\alpha \beta ={\displaystyle \frac{b}{3}}$$ である。

2点 $(\alpha ,f(\alpha ))$, $(\beta ,f(\beta ))$ を結ぶ直線の傾きは $$m={\displaystyle \frac{f(\alpha )-f(\beta )}{\alpha -\beta }}$$ である。分子を因数分解すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\alpha )-f(\beta )}& {\displaystyle =({\alpha }^3-{\beta }^3)+3a({\alpha }^2-{\beta }^2)+b(\alpha -\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha -\beta )\{{\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2+3a(\alpha +\beta )+b\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$m={\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2+3a(\alpha +\beta )+b$$ である。ここで$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-\alpha \beta =4a^2-{\displaystyle \frac{b}{3}}$$だから、$$m=4a^2-{\displaystyle \frac{b}{3}}+3a(-2a)+b={\displaystyle \frac{2}{3}}b-2a^2$$ である。

次に、グラフの平行移動を考える。$X=x+a$、すなわち $x=X-a$ と置くと、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(X-a)}& {\displaystyle =(X-a{)}^3+3a(X-a{)}^2+b(X-a)+c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =X^3+(b-3a^2)X+(2a^3-ab+c)}\end{array}$$である。上で求めた $m={\displaystyle \frac{2}{3}}b-2a^2$ から ${\displaystyle \frac{3}{2}}m=b-3a^2$ である。したがって $$f(X-a)=X^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}mX+(2a^3-ab+c)$$ となる。

定数項 $2a^3-ab+c$ は縦方向の平行移動で消せる。よって、$y=f(x)$ のグラフは平行移動によって $y=x^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}mx$ のグラフに移る。

極値を結ぶ弦と標準形

先に $x=X-a$ と置いて三次式を $X^3+pX+q$ の形へ移す。極値条件は $p<0$。この標準形では二つの停留点が $X=\pm u$ となり，それらを結ぶ弦の傾きを直接計算すると $2p\mathrm{/}3$ になるため，元の係数へ戻せる。

(1)
$x=X-a$ と置くと$$f(X-a)=X^3+pX+q,p=b-3a^2,q=2a^3-ab+c\mathrm{.}$$平行移動は極値の有無を変えない。導関数は $3X^2+p$ だから，異なる二つの停留点をもつ条件は$$p<0,$$すなわち $b<3a^2$ である。

(2)
$p<0$ のとき$$u=\sqrt{-{\displaystyle \frac{p}{3}}}$$と置けば，極大・極小の横座標はそれぞれ $-u,u$ である。縦座標の差を横座標の差で割ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(u^3+pu+q)-(-u^3-pu+q)}{u-(-u)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u^2+p}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{p}{3}}+p={\displaystyle \frac{2p}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$m={\displaystyle \frac{2}{3}}(b-3a^2)={\displaystyle \frac{2}{3}}b-2a^2,p={\displaystyle \frac{3}{2}}m\mathrm{.}$$ゆえに標準形は$$Y=X^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}mX$$であり，横に $a$，縦に $q$ だけ平行移動すれば元のグラフになる。