大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)=x^3+x-p$ とおく。このとき $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+1>0$ であるから、$f(x)$ は実数全体で狭義単調増加である。

また$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$$である。したがって $f(x)=0$ は少なくとも1つの実数解をもつ。一方、狭義単調増加であるから、実数解を2つ以上もつことはない。よって $$x^3+x-p=0\text{ の実数解の個数は1個}$$ である。

(2) $x^3+x-p=0$ の実数解を $\alpha$、$x^3+x-q=0$ の実数解を $\beta$ とする。すると $$p={\alpha }^3+\alpha ,q={\beta }^3+\beta$$ である。

関数 $g(x)=x^3+x$ は (1) と同様に狭義単調増加であり、$g(1)=2$ である。$p\geqq 2$, $q\geqq 2$ だから $\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1$ である。

ここで差を取ると $$p-q=({\alpha }^3-{\beta }^3)+(\alpha -\beta )$$ であり、因数分解して $$p-q=(\alpha -\beta )({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2+1)$$ を得る。$\alpha ,\beta \geqq 1$ より $${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2+1\geqq 1+1+1+1=4$$ である。したがって$$\mathrm{\mid }p-q\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2+1)\geqq 4\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }$$となる。よって $$\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\mid }p-q\mathrm{\mid }$$ である。

(1) は連続性と狭義単調性で一意性を示す。(2) は
$g(x)=x^3+x$ に平均値の定理を適用する。
$p,q\geqq 2$ から両根とその間の点が1以上になるため、
導関数の下限4がそのまま逆関数の変化率の上限 $1\mathrm{/}4$ を与える。

(1)
$f(x)=x^3+x-p$ とおくと $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+1>0$ なので
$f$ は実数全体で狭義単調増加である。また$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$中間値の定理により零点は存在し、狭義単調性により1個に限る。

(2)
$g(x)=x^3+x$ とおくと $$g(\alpha )=p,g(\beta )=q$$ である。
$g(1)=2$ と $g$ の単調性から $\alpha ,\beta \geqq 1$。
$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ のとき平均値の定理により、両者の間のある $\xi$ に対して$${\displaystyle \frac{p-q}{\alpha -\beta }}=g^{\mathrm{\prime }}(\xi )=3{\xi }^2+1.$$$\xi \geqq 1$ だから右辺は4以上である。絶対値を取って$$\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\mid }p-q\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$\alpha =\beta$ の場合も自明なので、すべての場合に成立する。