大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第2問

(1)
導関数は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2+2x=2x(3x+1)$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは$$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}},x=0$$である。符号を調べると、$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ は $x<-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ と $x>0$、$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ は $-{\displaystyle \frac{1}{3}}<x<0$ である。

また$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-{\displaystyle \frac{1}{3}})=2(-{\displaystyle \frac{1}{27}})+{\displaystyle \frac{1}{9}}-3=-{\displaystyle \frac{80}{27}},f(0)=-3$$である。よって増減表は$$\begin{array}{cccccccc}x& -\mathrm{\infty }& & -{\displaystyle \frac{1}{3}}& & 0& & \mathrm{\infty }\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& & +& 0& -& 0& +& \\ f(x)& & \nearrow & -{\displaystyle \frac{80}{27}}& \searrow & -3& \nearrow & \end{array}$$となる。

さらに $$f(x)=2x^3+x^2-3=(x-1)(2x^2+3x+3)$$ であり、$2x^2+3x+3$ の判別式は $3^2-4\cdot 2\cdot 3=-15<0$ である。したがって $x$ 軸との交点は $(1,0)$ だけである。

以上より、グラフは左下から増加して $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ で極大値 $-{\displaystyle \frac{80}{27}}$ をとり、その後 $x=0$ で極小値 $-3$ をとってから増加し、$(1,0)$ で $x$ 軸を横切って右上へ進む概形である。極大値も極小値も負であるため、$x$ 軸との交点が右側に1つだけであることを図に反映させる。

(2)
直線 $y=mx$ と曲線 $y=f(x)$ の交点では $f(x)=mx$ が成り立つ。ここで $x=0$ とすると $f(0)=-3$ であり交点ではない。したがって $x\mathrm{\ne }0$ として割ることができ、$$m={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=2x^2+x-{\displaystyle \frac{3}{x}}$$ と書ける。この右辺を $$\phi (x)=2x^2+x-{\displaystyle \frac{3}{x}}(x\mathrm{\ne }0)$$ とおく。

導関数は $${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=4x+1+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}={\displaystyle \frac{(x+1)(4x^2-3x+3)}{x^2}}$$ である。$4x^2-3x+3$ の判別式は $$(-3{)}^2-4\cdot 4\cdot 3=-39<0$$ で、先頭係数が正だから常に正である。また $x^2>0$ である。よって ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x+1$ の符号で決まる。

したがって $\phi (x)$ は $x<-1$ で減少し、$-1<x<0$ と $0<x$ で増加する。さらに$$\phi (-1)=4,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\phi (x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to -0}{\lim }\phi (x)=\mathrm{\infty },$$$$\underset{x\to +0}{\lim }\phi (x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (x)=\mathrm{\infty }$$である。

このため、$x<0$ の範囲では $m>4$ のときに2個、$m=4$ のときに1個、$m<4$ のときに0個の解をもつ。一方、$x>0$ の範囲では $\phi (x)$ が $-\mathrm{\infty }$ から $\mathrm{\infty }$ まで単調に増加するので、任意の $m$ に対して1個の解をもつ。

相異なる3点で交わるには、$x<0$ に2点、$x>0$ に1点が必要である。したがって条件は $m>4$ である。

曲線の概形と基準となる接線

$g_m(x)=f(x)-mx$ とおき，三次関数が相異なる3零点をもつための極大値・極小値の符号を調べる．最後に中間値の定理で十分性まで確認する．

(1)

増減表と曲線 $y=f(x)$ の概形は解法1と同じである．

(2)
三次方程式そのものの増減からも同じ境界を得られる。 $$g_m(x)=f(x)-mx=2x^3+x^2-mx-3$$ とおく。もし $g_m(x)=0$ が相異なる3つの実数解をもつなら、三次関数の極大値は正、極小値は負でなければならない。極値をとる点を $r$ とすると $g_m^{\mathrm{\prime }}(r)=6r^2+2r-m=0$ なので $m=6r^2+2r$ であり、$$g_m(r)=2r^3+r^2-(6r^2+2r)r-3=-(r+1)(4r^2-3r+3)$$ となる。ここで $4r^2-3r+3>0$ だから、極大値が正になるには、左側の極値の位置が $r<-1$ であることが必要である。左側の極値は $$r={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+6m}}{6}}$$ であるから、$r<-1$ は $$\sqrt{1+6m}>5,m>4$$ と同値である。
逆に $m>4$ なら $$g_m(-1)=m-4>0,g_m(0)=-3<0$$ であり、さらに $$g_m(x)\to -\mathrm{\infty }(x\to -\mathrm{\infty })$$、$$g_m(x)\to \mathrm{\infty }(x\to \mathrm{\infty })$$ である。中間値の定理より $(-\mathrm{\infty },-1)$、$(-1,0)$、$(0,\mathrm{\infty })$ にそれぞれ1つずつ解がある。三次方程式なのでこれで3解すべてであり、やはり $m>4$ が得られる。