大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

直線 $l$ の方向角を $\varphi$ とし、頂点 $A_k$ の方向角を $${\theta }_k={\theta }_1+(k-1){60}^{\circ }(k=1,2,\dots ,6)$$ とする。$O{A}_k=r$ であるから、点 $A_k$ から直線 $l$ までの距離は $$d_k=r\mathrm{\mid }\sin ({\theta }_k-\varphi )\mathrm{\mid }$$ である。したがって$$D=r^2\sum _{k=1}^6{\sin }^2({\theta }_k-\varphi )$$である。

ここで $${\sin }^{2}X={\displaystyle \frac{1-\cos 2X}{2}}$$ を用いると$$\sum _{k=1}^6{\sin }^2({\theta }_k-\varphi )=3-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{k=1}^6\cos 2({\theta }_k-\varphi )$$である。角 $2({\theta }_k-\varphi )$ は、$k$ が1つ増えるごとに ${120}^{\circ }$ ずつ増える。したがって、6つの項は$$T,T+{120}^{\circ },T+{240}^{\circ },T+{360}^{\circ },T+{480}^{\circ },T+{600}^{\circ }$$の余弦であり、同じ3項の組が2回現れる。ところが $$\cos T+\cos (T+{120}^{\circ })+\cos (T+{240}^{\circ })=0$$ なので$$\sum _{k=1}^6\cos 2({\theta }_k-\varphi )=0$$である。よって$$\sum _{k=1}^6{\sin }^2({\theta }_k-\varphi )=3$$となり、$${\displaystyle D=3r^2}$$ である。これは $\varphi$、すなわち直線 $l$ の向きによらない。

向かい合う頂点は直線 $l$ までの距離が等しいので、3方向だけを調べればよい。$l$ に垂直な単位ベクトルへの正射影を用い、120度ずつ異なる3本の半径の射影の二乗和を計算する。

正六角形の向かい合う頂点を$$A_1,A_4;A_2,A_5;A_3,A_6$$と組にする。同じ組の2点は原点 $O$ に関して対称なので、$O$ を通る直線 $l$ までの距離は等しい。

$l$ に垂直な方向と $O{A}_1$ のなす角を $\theta$ とする。3本の半径 $O{A}_1,O{A}_2,O{A}_3$ は60度ずつ向きが異なるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =2r^2\{{\cos }^2\theta +{\cos }^2(\theta +{60}^{\circ })+{\cos }^2(\theta +{120}^{\circ })\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2r^2[{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos 2\theta +\cos (2\theta +{120}^{\circ })+\cos (2\theta +{240}^{\circ })\}]\mathrm{.}}\end{array}$$120度ずつ異なる3つの余弦の和は0なので$$D=2r^2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$従って、直線の向きにかかわらず$$D=3r^2$$である。