大阪大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
点 $P$ を $P=(X,X^2+1)$ とおく。$O$ は原点であり、$Q$ は線分 $OP$ を $t^2:(1-t^2)$ に内分するので、$Q=t^{2}P$ である。したがって $$Q=(t^{2}X,t^2(X^2+1))$$ と書ける。 $Q=(x,y)$ とおくと $x=t^{2}X$ なので $$X={\displaystyle \frac{x}{t^2}}$$ である。これを $y=t^2(X^2+1)$ に代入すると $$y=t^2({\displaystyle \frac{x^2}{t^4}}+1)={\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2$$ である。よって、点 $Q$ が描く曲線 $C$ の方程式は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2$$ である。

(2)
元の放物線 $y=x^2+1$ と曲線 $C$ の交点を求める。 $$x^2+1={\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2$$ であるから、両辺に $t^2$ をかけて $t^2{x}^2+t^2=x^2+t^4$ となる。整理すると $(1-t^2)x^2=t^2(1-t^2)$ である。$0<t<1$ より $1-t^2\mathrm{\ne }0$ なので $x^2=t^2$ すなわち $x=\pm t$ で交わる。 $-t\leqq x\leqq t$ では$$(x^2+1)-({\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2)=(1-t^2)(1-{\displaystyle \frac{x^2}{t^2}})$$であり、これは $0$ 以上である。したがって面積 $S$ は$$S={\int }_{-t}^t\{x^2+1-({\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2)\}dx$$である。被積分関数は偶関数なので $$S=2{\int }_0^t\{1-t^2+x^2-{\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}\}dx$$ $$=2{[(1-t^2)x+(1-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}){\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^t$$ $$=2\{t(1-t^2)+{\displaystyle \frac{t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{t}{3}}\}={\displaystyle \frac{4t(1-t^2)}{3}}$$である。

(3)
(2)より $S={\displaystyle \frac{4}{3}}(t-t^3)$ である。$0<t<1$ で微分すると $${\displaystyle \frac{dS}{dt}}={\displaystyle \frac{4}{3}}(1-3t^2)$$ である。したがって $S$ は $0<t<1\mathrm{/}\sqrt{3}$ で増加し、$1\mathrm{/}\sqrt{3}<t<1$ で減少する。よって最大は $t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ のときである。このとき$$S_{\max }={\displaystyle \frac{4}{3}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}})={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{27}}$$である。

曲線 $C$ を原放物線の原点中心 $t^2$ 倍と見る。交点を求めた後、$x=tu$ で積分区間を $[-1,1]$ に正規化し、面積の共通因子 $t(1-t^2)$ を微分して最大化する。

(1)
$P=(X,X^2+1)$ とする。$Q$ は $OP$ を $t^2:(1-t^2)$ に内分するので$$Q=t^{2}P=(t^{2}X,t^2{X}^2+t^2)\mathrm{.}$$$Q=(x,y)$ とすれば $X=x\mathrm{/}{t}^2$ だから$$C:y={\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2\mathrm{.}$$(2)
原放物線と $C$ の交点は$$x^2+1={\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2$$を満たす。$0<t<1$ より整理して$$x=\pm t\mathrm{.}$$区間 $[-t,t]$ では原放物線が上側にあり、その差は$$(1-t^2)(1-{\displaystyle \frac{x^2}{t^2}})\mathrm{.}$$$x=tu$ と置けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =t(1-t^2){\int }_{-1}^1(1-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t(1-t^2){[u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4t(1-t^2)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$S={\displaystyle \frac{4}{3}}(t-t^3),{\displaystyle \frac{dS}{dt}}={\displaystyle \frac{4}{3}}(1-3t^2)\mathrm{.}$$$0<t<1$ で増減を調べると $t=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき最大となり、$$S_{\max }={\displaystyle \frac{4}{3}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}})={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{27}}\mathrm{.}$$