大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

円 $x^2+y^2=a^2$ 上の点 $(u,v)$ を考える。接線上の点を $(x,y)$ とすると、接線方向のベクトルは $(x-u,y-v)$ であり、半径ベクトル $(u,v)$ と垂直である。したがって $u(x-u)+v(y-v)=0$ である。$(u,v)$ は円上の点なので $u^2+v^2=a^2$ であり、接線の方程式は $ux+vy=a^2$ となる。

いま $$A_0=(b,\sqrt{a^2-b^2})$$ とおく。この点における接線は $$bx+\sqrt{a^2-b^2}y=a^2$$ である。$x$ 軸との交点では $y=0$ だから $bx=a^2$ より $$P=({\displaystyle \frac{a^2}{b}},0)$$ である。ここで $b>0$ なので、この値は定まる。

次に、外部の点 $(b,c)$ から円へ引いた接線の接点を $(u,v)$ とする。その接線の式は、上で求めた通り $ux+vy=a^2$ である。この接線は点 $(b,c)$ を通るので $ub+vc=a^2$ が成り立つ。すなわち接点 $(u,v)$ は直線 $bx+cy=a^2$ 上にある。

したがって、2つの接点 $Q,R$ はともに $bx+cy=a^2$ 上にある。点 $P=(a^2\mathrm{/}b,0)$ をこの直線に代入すると $$b\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{b}}+c\cdot 0=a^2$$ であるから、$P$ も同じ直線上にある。よって、2点 $Q,R$ を通る直線は $P$ を通る。

中心を原点とするベクトルで接点条件を書く。
外部点から接点へ向かう接線と半径の直交条件だけで、
2接点が満たす一次方程式が同時に得られる。

外部点 $S=(b,c)$ の位置ベクトルを $\vec{s}$、円上の接点 $T$ の
位置ベクトルを $\vec{t}$ とする。半径 $OT$ と接線 $ST$ は垂直だから$$\vec{t}\cdot (\vec{s}-\vec{t})=0.$$$\mathrm{\mid }\vec{t}\mathrm{\mid }=a$ より$$\vec{s}\cdot \vec{t}=a^2\mathrm{.}$$従って、外部点 $S$ から引いたどちらの接線についても、接点の座標
$(x,y)$ は$$bx+cy=a^2$$を満たす。ゆえに2接点 $Q,R$ を通る直線はこの直線である。

一方、指定された円周上の点$$(b,\sqrt{a^2-b^2})$$における接線は$$bx+\sqrt{a^2-b^2}y=a^2\mathrm{.}$$$x$ 軸との交点は$$P=({\displaystyle \frac{a^2}{b}},0)\mathrm{.}$$この点を $bx+cy=a^2$ へ代入すると等式が成り立つ。従って$$P,Q,R$$は一直線上にある。