大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$p+qi$ が方程式 $x^3+px+10=0$ の解であるから $(p+qi{)}^3+p(p+qi)+10=0$ である。

まず $$(p+qi{)}^3=p^3+3p^{2}qi+3p(qi{)}^2+(qi{)}^3=p^3-3p{q}^2+(3p^{2}q-q^3)i$$ である。また $p(p+qi)=p^2+pqi$ だから、実部と虚部を比較して $p^3-3p{q}^2+p^2+10=0$ および $3p^{2}q-q^3+pq=0$ を得る。

虚部の式は $q(3p^2-q^2+p)=0$ である。条件より $q\mathrm{\ne }0$ なので $q^2=3p^2+p$ である。これを実部の式へ代入すると $p^3-3p(3p^2+p)+p^2+10=0$ となる。整理して $-8p^3-2p^2+10=0$ すなわち $4p^3+p^2-5=0$ である。左辺は $$4p^3+p^2-5=(p-1)(4p^2+5p+5)$$ と因数分解できる。2次式の判別式は $5^2-4\cdot 4\cdot 5=-55<0$ であるから、実数解は $p=1$ だけである。したがって $q^2=3\cdot 1^2+1=4$ より $q=2,q=-2$ である。よって求める値は $$(p,q)=(1,2),(1,-2)$$ である。

係数が実数であることから共役根 $p-qi$ を同時に取り、
残る実根を $r$ とする。解と係数の関係を3本使って
$r$ と $q^2$ を消去し、$p$ の方程式へ帰着する。

方程式の係数は実数なので、$p+qi$ が根なら $p-qi$ も根である。
残る根を $r$ とする。3次方程式$$x^3+px+10=0$$の解と係数の関係より$$(p+qi)+(p-qi)+r=0,$$従って$$r=-2p\mathrm{.}$$2根ずつの積の和は $p$ だから$$(p+qi)(p-qi)+r(p+qi)+r(p-qi)=p\mathrm{.}$$整理すると$$p^2+q^2+2pr=p\mathrm{.}$$$r=-2p$ を代入して$$q^2=3p^2+p\mathrm{.}$$また3根の積は $-10$ なので$$(p^2+q^2)r=-10.$$再び $r=-2p$ を代入すると$$p(p^2+q^2)=5.$$$q^2=3p^2+p$ を用いて$$4p^3+p^2-5=0,$$すなわち$$(p-1)(4p^2+5p+5)=0.$$二次式の判別式は $-55<0$ だから、実数 $p$ は $p=1$ に限る。
すると $q^2=4$ であり、$$(p,q)=(1,2),(1,-2)$$である。