大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

円の半径を $r$ とし、$$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$とおく。3点 $A,B,C$ は円周上にあるから $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=r$$ である。また条件より $$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$$ である。

まず $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ の両辺の大きさの2乗を比べると $$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。左辺を展開して $$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=r^2$$ だから $$r^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+r^2=r^2$$ となる。したがって $$\vec{a}\cdot \vec{b}=-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}$$ である。同様に、$$\vec{b}+\vec{c}=-\vec{a},\vec{c}+\vec{a}=-\vec{b}$$ から$$\vec{b}\cdot \vec{c}=-{\displaystyle \frac{r^2}{2}},\vec{c}\cdot \vec{a}=-{\displaystyle \frac{r^2}{2}}$$も得られる。

よって $$\cos \mathrm{\angle }AOB={\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であるから $\mathrm{\angle }AOB={120}^{\circ }$ である。同じ理由で $$\mathrm{\angle }BOC={120}^{\circ },\mathrm{\angle }COA={120}^{\circ }$$ である。

同じ円で中心角が等しい弦の長さは等しいので $AB=BC=CA$ である。したがって三角形 $ABC$ は正三角形である。

円を単位円へ正規化し、3点を絶対値1の複素数で表す。
1点の複素数で全体を割ると、絶対値1の2数 $u,v$ が
$1+u+v=0$ を満たす。絶対値を取って実部を決め、3点の偏角差を求める。

円の半径を $r$ とし、平行移動と相似変換により $O=0$、$r=1$
としてよい。点 $A,B,C$ に対応する複素数を
$\alpha ,\beta ,\gamma$ とすると$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }=1,\alpha +\beta +\gamma =0.$$$\alpha \mathrm{\ne }0$ なので$$u={\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }},v={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}$$とおけば$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=1,1+u+v=0.$$従って $v=-(1+u)$ であり、$\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=1$ から$$1=\mathrm{\mid }1+u{\mathrm{\mid }}^2=2+2\mathrm{Re}u\mathrm{.}$$よって $\mathrm{Re}u=-1\mathrm{/}2$ である。さらに $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$ だから$$u=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\mathrm{.}$$$v=-1-u$ はもう一方の符号をもつ。従って
$\alpha ,\beta ,\gamma$ の偏角は、順序を除けば$$\theta ,\theta +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\theta +{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$である。3つの中心角はすべて ${120}^{\circ }$ なので、対応する弦は等しく、$$AB=BC=CA\mathrm{.}$$ゆえに $\mathrm{△}ABC$ は正三角形である。