大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第1問

(1) $z_k=x_k+y_{k}i$ とおく。$$0\leqq \arg z_k\leqq \pi \mathrm{/}2$$ であるから、$z_k$ は第1象限またはその境界上にあり、$x_k\geqq 0,y_k\geqq 0$ である。

このとき$${\mid z_1+z_2+\cdots +z_n\mid }^2={\left(\sum _{k=1}^n{x}_k\right)}^2+{\left(\sum _{k=1}^n{y}_k\right)}^2$$である。右辺を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mid z_1+\cdots +z_n\mid }^2}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n(x_k^2+y_k^2)+2\sum _{1\leqq j<k\leqq n}(x_j{x}_k+y_j{y}_k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k{\mathrm{\mid }}^2+2\sum _{1\leqq j<k\leqq n}(x_j{x}_k+y_j{y}_k)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $x_j,x_k,y_j,y_k$ はすべて0以上なので、交差項はすべて0以上である。したがって $$\mathrm{\mid }{z}_1{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }{z}_2{\mathrm{\mid }}^2+\cdots +\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2\leqq \mathrm{\mid }{z}_1+z_2+\cdots +z_n{\mathrm{\mid }}^2$$ である。

(2) $$z_k=\cos {\theta }_k+i\sin {\theta }_k$$ とおく。$$0\leqq {\theta }_k\leqq \pi \mathrm{/}2$$ だから、$$0\leqq \arg z_k\leqq \pi \mathrm{/}2$$ であり、(1)を適用できる。また $\mathrm{\mid }{z}_k\mathrm{\mid }=1$ である。よって(1)より$$n=\sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k{\mathrm{\mid }}^2\leqq {\mid \sum _{k=1}^n{z}_k\mid }^2$$である。

一方、条件より$$\sum _{k=1}^n\cos {\theta }_k=1$$であるから、$$\sum _{k=1}^n{z}_k=1+i\sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k$$である。したがって$${\mid \sum _{k=1}^n{z}_k\mid }^2=1+{(\sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k)}^2$$である。ゆえに$$n\leqq 1+{(\sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k)}^2$$となる。 $$0\leqq {\theta }_k\leqq \pi \mathrm{/}2$$ なので、$$\sum \sin {\theta }_k\geqq 0$$である。よって平方根を取って$$\sqrt{n-1}\leqq \sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k$$すなわち $$\sqrt{n-1}\leqq \sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2+\cdots +\sin {\theta }_n$$ が成り立つ。

第1象限のベクトル和

各複素数を平面ベクトルとみなし，和の絶対値の二乗を内積で展開する。偏角差が $[-\pi \mathrm{/}2,\pi \mathrm{/}2]$ に入るので，異なる二つのベクトルの内積が非負になる。

(1)
偏角を ${\varphi }_k=\arg z_k$ とする。任意の $j<k$ に対して$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\varphi }_j-{\varphi }_k\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$だから$$\mathrm{Re}(z_j\overline{z_k})=\mathrm{\mid }{z}_j\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{z}_k\mathrm{\mid }\cos ({\varphi }_j-{\varphi }_k)\geqq 0.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mid \sum _{k=1}^n{z}_k\mid }^2}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k{\mathrm{\mid }}^2+2\sum _{1\leqq j<k\leqq n}\mathrm{Re}(z_j\overline{z_k})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq \sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}}\end{array}$$これで (1) が示された。

(2) $$z_k=\cos {\theta }_k+i\sin {\theta }_k$$と置く。各 $\mathrm{\mid }{z}_k\mathrm{\mid }=1$ であり，(1) と実部の和の条件から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n}& {\displaystyle \leqq {\mid \sum _{k=1}^n{z}_k\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(\sum _{k=1}^n\cos {\theta }_k)}^2+{(\sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{(\sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$正弦の和は非負なので$${\displaystyle \sqrt{n-1}\leqq \sum _{k=1}^n\sin {\theta }_k}$$を得る。