大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $z_n=w^{e_n}$ と書く。条件 $z_1=w$ より $e_1=1$ であり、漸化式 $z_{n+1}=z_n{w}^{2n+1}$ から $e_{n+1}=e_n+2n+1$ である。したがって $$e_n=1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$$ となる。よって $$z_n=w^{n^2}=a^{n^2}\{\cos (5n^2{)}^{\circ }+i\sin (5n^2{)}^{\circ }\}$$ である。 $z_n$ が実数であるための必要十分条件は、偏角 $5n^2{}^{\circ }$ が ${180}^{\circ }$ の整数倍であることである。すなわち $180\mid 5n^2$ であり、これは $36\mid n^2$ と同値である。$36=2^2\cdot 3^2$ だから、$36\mid n^2$ は $6\mid n$ と同値である。したがって $z_n\text{ が実数 }⟺n\text{ は6の倍数}$ である。

(2)
点 $P_n$ の原点からの距離は $O{P}_n=\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }=a^{n^2}$ である。また $P_n$ と $P_{n+1}$ の偏角の差は $$5\{(n+1{)}^2-n^2{\}}^{\circ }=5(2n+1{)}^{\circ }$$ である。$1\leqq n\leqq 17$ では ${15}^{\circ }\leqq 5(2n+1{)}^{\circ }\leqq {175}^{\circ }$ なので、これがそのまま $\mathrm{\angle }{P}_{n}O{P}_{n+1}$ である。

直角二等辺三角形の角は ${45}^{\circ },{45}^{\circ },{90}^{\circ }$ である。したがって、原点 $O$ の角が直角である場合は $5(2n+1)=90$ が必要である。しかしこれは $2n+1=18$ を与え、整数 $n$ は存在しない。

よって原点の角は ${45}^{\circ }$ でなければならない。したがって $5(2n+1)=45$ より $n=4$ を得る。

このとき $${\displaystyle \frac{O{P}_{n+1}}{O{P}_n}}={\displaystyle \frac{a^{(n+1{)}^2}}{a^{n^2}}}=a^{2n+1}=a^9$$ である。原点の角が ${45}^{\circ }$ の直角二等辺三角形では、原点から出る2辺の長さの比は $\sqrt{2}\text{または}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。したがって $$a^9=\sqrt{2}\text{または}{a}^9={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ となる。

以上より$$\begin{gathered} n=4, \\ a=\sqrt[18]{2}\text{ または }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[18]{2}}} \end{gathered}$$である。

まず $z_n=w^{n^2}$ を得る。(2) では相似比 ${\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}}$ を使い、直角の頂点が $O,P_n,P_{n+1}$ の各場合に「一方の辺ベクトルが他方の $\pm i$ 倍」という条件を課す。

(1)
指数を足し上げると$$z_n=w^{1+3+\cdots +(2n-1)}=w^{n^2}\mathrm{.}$$したがって偏角は $5n^2{}^{\circ }$ である。実数条件は$$5n^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}180),$$すなわち $36\mid n^2$ であり、これは $6\mid n$ と同値である。

(2) $${\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}}=w^{2n+1}=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),r=a^{2n+1},\varphi =5(2n+1{)}^{\circ }\mathrm{.}$$$1\leqq n\leqq 17$ では $${15}^{\circ }\leqq \varphi \leqq {175}^{\circ }$$ である。

直角が $O$ にあるなら、2本の位置ベクトルは等長かつ直交するので$${\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}}=\pm i\mathrm{.}$$よって $r=1$、$\varphi ={90}^{\circ }$ が必要だが、$5(2n+1)=90$ を満たす整数 $n$ はない。

直角が $P_n$ にあるなら、等しい2辺は $-z_n$ と $z_{n+1}-z_n$ である。したがって$${\displaystyle \frac{z_{n+1}-z_n}{z_n}}=\pm i,{\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}}=1\pm i\mathrm{.}$$許される偏角から$$\varphi ={45}^{\circ },r=\sqrt{2}\mathrm{.}$$よって $n=4$、$a^9=\sqrt{2}$ である。

直角が $P_{n+1}$ にある場合は同様に$${\displaystyle \frac{z_n}{z_{n+1}}}=1\pm i$$となり、$$\varphi ={45}^{\circ },r={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$したがって$$n=4,a=\sqrt[18]{2}\text{ または }a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[18]{2}}}\mathrm{.}$$