大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$r_n={\displaystyle \frac{z_n}{z_{n-1}}}(n\geqq 2)$$ とおく。問題の条件より $$r_2={\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{2}}$$ である。また $n\geqq 3$ では$$r_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{4}}{\displaystyle \frac{\overline{z_{n-2}}}{\overline{z_{n-1}}}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\overline{r_{n-1}}}}$$である。

ここで $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ だから $$\bar{\alpha }=1\mathrm{/}\alpha$$ である。$r_{n-1}={\alpha }^{2n-2}\mathrm{/}2$ と仮定すると$$\overline{r_{n-1}}={\displaystyle \frac{{\bar{\alpha }}^{2n-2}}{2}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^{-(2n-2)}}{2}}$$である。したがって $$r_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{4}}\cdot 2{\alpha }^{2n-2}={\displaystyle \frac{{\alpha }^{2n}}{2}}$$ となる。$n=2$ でも成り立つので、帰納法により $$r_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^{2n}}{2}}(n\geqq 2)$$ である。

よって $$z_n=z_1{r}_2{r}_3\cdots r_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^{2(2+3+\cdots +n)}}{2^{n-1}}}$$ である。指数を計算すると $$2(2+3+\cdots +n)=2({\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}-1)=n(n+1)-2$$ だから $$z_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^{n(n+1)-2}}{2^{n-1}}}(n=1,2,3,\dots )$$ である。$n=1$ のときも右辺は $1$ になり、$z_1=1$ と一致する。

(2) $$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ であるから $${\alpha }^3=1,\alpha \mathrm{\ne }1$$ である。したがって $z_k$ に現れる ${\alpha }^{k(k+1)-2}$ は指数を3で割った余りだけで決まる。 $k$ を3で割った余りで分類すると、$k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\Rightarrow k(k+1)-2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),$ $k\equiv 0,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\Rightarrow k(k+1)-2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。よって $$z_{3j+1}={\displaystyle \frac{1}{2^{3j}}},$$ $$z_{3j+2}={\displaystyle \frac{\alpha }{2^{3j+1}}},z_{3j+3}={\displaystyle \frac{\alpha }{2^{3j+2}}}$$である。ここで $j=0,1,2,\dots$ とする。 $$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ なので、実部の和は$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\{{\displaystyle \frac{1}{2^{3j}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2^{3j+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{2^{3j+2}}})\}$$である。中括弧内は$${\displaystyle \frac{1}{2^{3j}}}(1-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{8}})={\displaystyle \frac{1}{2^{3j}}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}$$であるから、$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k={\displaystyle \frac{5}{8}}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^j={\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-1\mathrm{/}8}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$$である。

同様に虚部の和は$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{1}{2^{3j+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{2^{3j+2}}})$$である。よって$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^{3j}}}({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-1\mathrm{/}8}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{7}}$$である。

(1) は比 $r_n=z_n\mathrm{/}{z}_{n-1}$ の偏角と絶対値を別々に追い、
$r_n={\alpha }^{2n}\mathrm{/}2$ を帰納する。(2) は実部・虚部を別々に足さず、
3項ずつまとめた複素級数を1本の等比級数として計算し、最後に実部と虚部を読む。

(1)
$r_n=z_n\mathrm{/}{z}_{n-1}$ とおくと$$r_2={\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{2}},r_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{4\overline{r_{n-1}}}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ を用いる帰納法により$$r_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^{2n}}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$z_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^{n(n+1)-2}}{2^{n-1}}}\mathrm{.}$$(2)
指定された $\alpha$ は ${\alpha }^3=1$ を満たす。
$j\geqq 0$ に対して$$z_{3j+1}={\displaystyle \frac{1}{2^{3j}}},z_{3j+2}={\displaystyle \frac{\alpha }{2^{3j+1}}},z_{3j+3}={\displaystyle \frac{\alpha }{2^{3j+2}}}\mathrm{.}$$よって複素級数全体は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_k}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1+\alpha \mathrm{/}2+\alpha \mathrm{/}4}{8^j}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+3\alpha \mathrm{/}4}{1-1\mathrm{/}8}}={\displaystyle \frac{5}{7}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{7}}i\mathrm{.}}\end{array}$$実部・虚部を比較して$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k={\displaystyle \frac{5}{7}},\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{7}}\mathrm{.}$$