大阪大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
$0<x\leqq 1$で$$f_n^{\mathrm{\prime }}(x)=x^{n-1}{e}^{1-x}(n-x)\geqq 0$$であるから、$f_n$は$[0,1]$で単調増加する。$f_n(0)=0$、$f_n(1)=1$より$$0\leqq f_n(x)\leqq 1.$$さらに$(0,1)$では$0<f_n(x)<1$なので、区間の長さが1であることから$$0<a_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx<1.$$(2)
直接積分して$$a_1={\int }_0^{1}x{e}^{1-x}dx=e-2.$$また$n>1$について部分積分すると$$a_n={[-x^n{e}^{1-x}]}_0^1+n{\int }_0^1{x}^{n-1}{e}^{1-x}dx=n{a}_{n-1}-1.$$(3)
前式を$n!$で割ると$${\displaystyle \frac{a_n}{n!}}={\displaystyle \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}}-{\displaystyle \frac{1}{n!}}\mathrm{.}$$これを$n$から2まで繰り返し、$a_1=e-2$を用いれば$${\displaystyle \frac{a_n}{n!}}=e-2-\sum _{j=2}^n{\displaystyle \frac{1}{j!}}=e-(1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}})\mathrm{.}$$(4)
(3)を変形すると$$n!e=n!(1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}})+a_n\mathrm{.}$$右辺第1項は整数であり、(1)より$0<a_n<1$である。従って$n!e$は整数と整数の間にあり、整数ではない。

(1) は $\log x\leqq x-1$ を使って被積分関数を直接1以下に抑える。(3)では漸化式を反復する代わりに、微分すると $-f_n(x)$ になる多項式付き指数関数を構成し、定積分を一度で評価する。

(1)
$0<x\leqq 1$ では$$\log x\leqq x-1.$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \log f_n(x)}& {\displaystyle =n\log x+1-x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq n(x-1)+1-x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1)(x-1)\leqq 0.}\end{array}$$よって $0\leqq f_n(x)\leqq 1$ であり、内部では正で、恒等的に1ではないから$$0<a_n<1.$$(2)$$a_1={\int }_0^{1}x{e}^{1-x}dx=e-2.$$また $n>1$ で部分積分すると$$a_n=n{a}_{n-1}-1.$$(3)$$P_n(x)=n!\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{x^j}{j!}}$$と置く。このとき$$P_n^{\mathrm{\prime }}(x)-P_n(x)=-x^n$$だから$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{e^{1-x}{P}_n(x)\}=-x^n{e}^{1-x}=-f_n(x)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =e{P}_n(0)-P_n(1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n!\{e-\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{1}{j!}}\}\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$${\displaystyle \frac{a_n}{n!}}=e-(1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}})\mathrm{.}$$(4)
上式より$$n!e=n!\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{1}{j!}}+a_n\mathrm{.}$$第1項は整数で、$0<a_n<1$ だから $n!e$ は整数ではない。