大阪大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

点 $P$ の偏角を $\theta$ とする。点 $Q$ は第1象限にあり$$a^2({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi )=1$$だから$$\cos 2\phi ={\displaystyle \frac{1}{a^2}},0<\phi <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(1) 円の弦長公式より$$\overline{QP}=2a\mid \sin {\displaystyle \frac{\theta -\phi }{2}}\mid ,$$また $Q^{\mathrm{\prime }}$ の偏角は $\phi +\pi$ なので$$\overline{Q^{\mathrm{\prime }}P}=2a\mid \cos {\displaystyle \frac{\theta -\phi }{2}}\mid \mathrm{.}$$従って$$\overline{QP}\overline{Q^{\mathrm{\prime }}P}=2a^2\mathrm{\mid }\sin (\theta -\phi )\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$これが $a^2$ に等しいから$$\mathrm{\mid }\sin (\theta -\phi )\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$さらに $P,P^{\mathrm{\prime }}$ はともに $x>0$ にあり、$0<\phi <\pi \mathrm{/}4$ である。従って条件を満たす二点の偏角は$$\theta =\phi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}},\theta =\phi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$である。よって、どちらの点についても$$\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$(2) $P,P^{\mathrm{\prime }}$ の偏角をそれぞれ $\phi +\pi \mathrm{/}6,\phi -\pi \mathrm{/}6$ とする。$R=(a,0)$ だから$${\overline{PR}}^2=2a^2(1-\cos \theta )$$である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{{\overline{PR}}^2+{\overline{P^{\mathrm{\prime }}R}}^2}{{\overline{OR}}^2}}}& {\displaystyle =4-2\{\cos (\phi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+\cos (\phi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-2\sqrt{3}\cos \phi \mathrm{.}}\end{array}$$$a\to \mathrm{\infty }$ のとき $\cos 2\phi =1\mathrm{/}{a}^2\to 0$ かつ $0<\phi <\pi \mathrm{/}4$ より$$\phi \to {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$従って求める極限は$$4-2\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=4-\sqrt{6}\mathrm{.}$$

弦長の積を三角関数でなく内積で表す。
点 $P$ の位置ベクトルと $\overrightarrow{OQ}$ の内積から
中心角の候補を決め、右半円条件で余分な候補を除く。
(2)も位置ベクトルの距離平方を足し合わせて求める。

位置ベクトルを $$\vec{p}=\overrightarrow{OP}$$、$$\vec{q}=\overrightarrow{OQ}$$ とする。$Q^{\mathrm{\prime }}=-Q$ であり、$$\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }=a\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q{P}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2=2a^2-2\vec{p}\cdot \vec{q},}\\ {\displaystyle Q^{\mathrm{\prime }}{P}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{p}+\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2=2a^2+2\vec{p}\cdot \vec{q}\mathrm{.}}\end{array}$$積の条件を2乗して$$4\{a^4-(\vec{p}\cdot \vec{q}{)}^2\}=a^4,$$よって$$\mathrm{\mid }\vec{p}\cdot \vec{q}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{a}^2\mathrm{.}$$(1)
$\theta =\mathrm{\angle }POQ$ とすれば$$\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$したがって偏角差は $\pm \pi \mathrm{/}6$ または $\pm 5\pi \mathrm{/}6$ である。
$Q$ は第1象限にあり、$P,P^{\mathrm{\prime }}$ は右半円上にあるため、
$\pm 5\pi \mathrm{/}6$ の候補は右半円から外れる。従って2点の偏角は$$\phi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}},\phi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$であり、$$\mathrm{\angle }POQ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$(2)
$R=(a,0)$ とし、$$\vec{r}=\overrightarrow{OR}$$ とする。$$P{R}^2=\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{r}{\mathrm{\mid }}^2=2a^2-2\vec{p}\cdot \vec{r}\mathrm{.}$$2点 $P,P^{\mathrm{\prime }}$ について足すと$${\displaystyle \frac{P{R}^2+P^{\mathrm{\prime }}{R}^2}{O{R}^2}}=4-2\sqrt{3}\cos \phi \mathrm{.}$$一方、$Q\in D$ より$$\cos 2\phi ={\displaystyle \frac{1}{a^2}},0<\phi <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$$a\to \mathrm{\infty }$ で $\phi \to \pi \mathrm{/}4$ だから、求める極限は$$4-2\sqrt{3}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=4-\sqrt{6}\mathrm{.}$$