大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $C_1:y=-x(x-1)=-x^2+x$ であるから、$C_1$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-2x+1$ である。一方、$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+b$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=x+a$ である。 $C$ が $C_1$ 上の点 $(t,-t^2+t)$ で共通の接線をもつので、まず傾きの一致から $t+a=-2t+1$ である。したがって $a=1-3t$ である。

また $C$ がこの点を通るから ${\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+at+b=-t^2+t$ である。$a=1-3t$ を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+(1-3t)t+b=-t^2+t$$ より $-{\displaystyle \frac{5}{2}}{t}^2+t+b=-t^2+t$ となる。よって $b={\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2$ である。

(2) $C_2:y=x(x-1)=x^2-x$ であるから、$$C_2-C=x^2-x-({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+(1-3t)x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2)$$ $$={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+(3t-2)x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2$$ である。この2次式を $h(x)$ とおく。

判別式は$$D=(3t-2{)}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2)=12t^2-12t+4=4(3t^2-3t+1)$$である。$$3t^2-3t+1=3(t-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}>0$$ なので、2つの交点は常に異なる。2つの零点を $r_1<r_2$ とすると、零点の差は $$r_2-r_1={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{1\mathrm{/}2}}=4\sqrt{3t^2-3t+1}$$ である。 $h(x)$ は上に凸であるから、$r_1<x<r_2$ では $h(x)<0$ である。したがって囲まれる面積は$$S={\int }_{r_1}^{r_2}-h(x)dx$$である。一般に $$h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-r_1)(x-r_2)$$ なので、$L=r_2-r_1$ とおくと$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{r_1}^{r_2}(x-r_1)(r_2-x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{L^3}{6}}={\displaystyle \frac{L^3}{12}}$$である。よって$$S={\displaystyle \frac{1}{12}}{\left(4\sqrt{3t^2-3t+1}\right)}^3={\displaystyle \frac{16}{3}}(3t^2-3t+1{)}^{3\mathrm{/}2}$$である。

(3) 面積 $S$ は $3t^2-3t+1$ の増加関数として表されている。ここで $$3t^2-3t+1=3{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であるから、最小値は $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。このとき$$S_{\min }={\displaystyle \frac{16}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{16}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。

接点で値と傾きが一致することを「差が接点を2重根にもつ」と読み替える。
$C-C_1$ は最高次係数 $3\mathrm{/}2$ の2次式なので、直ちに
$C-C_1={\displaystyle \frac{3}{2}}(x-t{)}^2$ と書ける。
面積は2交点の中点へ平行移動して放物線弓形の標準積分で求める。

(1)
$C$ と $C_1$ が $x=t$ で接するので、その差は $x=t$ を2重根にもつ。
最高次係数を比較して$$C-C_1={\displaystyle \frac{3}{2}}(x-t{)}^2\mathrm{.}$$左辺を展開して係数を比較すると$$a=1-3t,b={\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2\mathrm{.}$$(2)
$h(x)=C_2-C$ とおけば$$h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+(3t-2)x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2\mathrm{.}$$その判別式は $4(3t^2-3t+1)$ である。
2根の差を $L$ とすると$$L=4\sqrt{3t^2-3t+1}\mathrm{.}$$根の中点を原点とする変数 $u$ を用いれば、2曲線間の高さは$${\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)}^2-u^2\}\mathrm{.}$$よって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-L\mathrm{/}2}^{L\mathrm{/}2}\{{\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)}^2-u^2\}du={\displaystyle \frac{L^3}{12}}={\displaystyle \frac{16}{3}}(3t^2-3t+1{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(3)$$3t^2-3t+1=3{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$だから $t=1\mathrm{/}2$ で最小となる。このとき$$S_{\min }={\displaystyle \frac{16}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$