大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

点 $P$ の $y$ 座標を $h=8t-2t^2=2t(4-t)$ とおく。$0<t<4$ なので $h>0$ である。直線 $OP$ の方程式は $$y={\displaystyle \frac{h}{t}}x=(8-2t)x$$ であり、直線 $PE$ の方程式は $$y={\displaystyle \frac{h}{4-t}}(4-x)=2t(4-x)$$ である。長方形 $R$ では $1\leqq x\leqq 2$ であり、また $h\leqq 8$ だから、三角形の上端までの高さを積分すれば共通部分の面積が得られる。

まず $0<t\leqq 1$ のとき、$1\leqq x\leqq 2$ はすべて $x\geqq t$ にあるので、上端は直線 $PE$ である。したがって $$f(t)={\int }_1^{2}2t(4-x)dx=2t{[4x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_1^2=5t$$ である。

次に $1\leqq t\leqq 2$ のとき、$1\leqq x\leqq t$ では直線 $OP$、$t\leqq x\leqq 2$ では直線 $PE$ が上端になる。よって $$f(t)={\int }_1^t(8-2t)xdx+{\int }_t^{2}2t(4-x)dx$$ である。各項を計算すると $${\int }_1^t(8-2t)xdx=(4-t)(t^2-1)$$ かつ $${\int }_t^{2}2t(4-x)dx=2t(6-4t+{\displaystyle \frac{t^2}{2}})=12t-8t^2+t^3$$ であるから $f(t)=-4t^2+13t-4$ となる。

最後に $2\leqq t<4$ のとき、$1\leqq x\leqq 2$ はすべて $x\leqq t$ にあるので、上端は直線 $OP$ である。したがって $$f(t)={\int }_1^2(8-2t)xdx=(8-2t){\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_1^2=12-3t$$ である。

以上より$$f(t)=\{\begin{array}{ll}5t& (0<t\leqq 1),\\ -4t^2+13t-4& (1\leqq t\leqq 2),\\ 12-3t& (2\leqq t<4)\end{array}$$である。

(2) $0<t\leqq 1$ では $f(t)=5t$ だから、この範囲での最大値は $t=1$ のときの $5$ である。$2\leqq t<4$ では $f(t)=12-3t$ だから、この範囲での最大値は $t=2$ のときの $6$ である。

中央の範囲では $f(t)=-4t^2+13t-4$ であり、これは上に凸の二次関数である。頂点は $$t={\displaystyle \frac{13}{8}}$$ で、これは $1\leqq t\leqq 2$ に含まれる。このとき$$f\left({\displaystyle \frac{13}{8}}\right)=-4\cdot {\displaystyle \frac{169}{64}}+13\cdot {\displaystyle \frac{13}{8}}-4={\displaystyle \frac{105}{16}}$$である。$105\mathrm{/}16>6>5$ なので、全体での最大値は ${\displaystyle \frac{105}{16}}$ であり、それを与える $t$ は $$t={\displaystyle \frac{13}{8}}$$ である。

積分を使わず、長方形 $1\leqq x\leqq 2$ の中にできる台形の左右の高さを読む。点 $P$ の位置が長方形の左・内部・右のどこにあるかに応じて3場合に分け、中央の場合だけ2つの台形に分割する。得られた二次式は平方完成して最大値を求める。

(1)

$P$ の高さを$$h=8t-2t^2=2t(4-t)$$とおく。辺 $OP$ 上の高さは $(8-2t)x$、辺 $PE$ 上の高さは $2t(4-x)$ である。

$0<t\leqq 1$ では、$x=1,2$ における高さはそれぞれ $6t,4t$ である。従って共通部分は幅1の台形で、$$f(t)={\displaystyle \frac{6t+4t}{2}}=5t\mathrm{.}$$$1\leqq t\leqq 2$ では、$x=1,t,2$ における高さは順に$$8-2t,h,4t$$である。$x=t$ で2つの台形に分けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(8-2t)+h}{2}}(t-1)+{\displaystyle \frac{h+4t}{2}}(2-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4t^2+13t-4.}\end{array}$$$2\leqq t<4$ では、$x=1,2$ における高さはそれぞれ $8-2t,16-4t$ だから$$f(t)={\displaystyle \frac{(8-2t)+(16-4t)}{2}}=12-3t\mathrm{.}$$よって$$f(t)=\{\begin{array}{ll}5t& (0<t\leqq 1),\\ -4t^2+13t-4& (1\leqq t\leqq 2),\\ 12-3t& (2\leqq t<4)\mathrm{.}\end{array}$$(2)

中央の式を平方完成すると$$-4t^2+13t-4=-4{(t-{\displaystyle \frac{13}{8}})}^2+{\displaystyle \frac{105}{16}}\mathrm{.}$$$13\mathrm{/}8$ は区間 $[1,2]$ に含まれる。他の2区間の最大値はそれぞれ $5,6$ であり、$${\displaystyle \frac{105}{16}}>6>5$$だから、求める値は$$t={\displaystyle \frac{13}{8}},\max f(t)={\displaystyle \frac{105}{16}}\mathrm{.}$$