大阪大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ として$$P=(-a\cos \theta ,b\sin \theta )$$とおく。$P$ における接線の方向ベクトルは$$\mathit{d}=(-a\sin \theta ,-b\cos \theta )$$である。従って $m$ の第1象限向きの方向は $$-\mathit{d}=(a\sin \theta ,b\cos \theta )$$ であり、この点は楕円上にもある。よって$$A=(a\sin \theta ,b\cos \theta ),OA=\sqrt{a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta }\mathrm{.}$$$PB$ は点 $P$ と直線 $m$ の距離である。直線 $m$ に垂直なベクトルとして$$\mathit{n}=(b\cos \theta ,-a\sin \theta )$$をとる。この長さは$$\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{b^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta }=OA$$である。したがって、$\overrightarrow{OP}$ の $\mathit{n}$ 方向への射影の長さを求めると$$PB={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\cdot \mathit{n}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-ab{\cos }^2\theta -ab{\sin }^2\theta \mathrm{\mid }}{OA}}={\displaystyle \frac{ab}{OA}}\mathrm{.}$$従って$$OA\cdot PB=ab\mathrm{.}$$(2) $$e=\sqrt{a^2-b^2}$$ とすれば $F=(e,0)$ である。まず$$P{F}^2=(-a\cos \theta -e{)}^2+b^2{\sin }^2\theta =(a+e\cos \theta {)}^2$$だから$$PF=a+e\cos \theta \mathrm{.}$$直線 $FP$ 上で$$C=P+\mu (F-P),\mu ={\displaystyle \frac{a}{a+e\cos \theta }}$$とおく。このとき$$PC=\mu PF=a\mathrm{.}$$あとは $C$ が $m$ 上にあることを確かめればよい。$C=(X,Y)$ とすると、$m$ の方向 $(a\sin \theta ,b\cos \theta )$ との平行条件は$$b\cos \theta X-a\sin \theta Y=0$$である。上の $C$ を代入した左辺は$$-a+\mu (a+e\cos \theta )=0$$となる。従って $C\in m$ であり、実際に $PC=a$ である。

第2象限の点を $P=(-a\cos \theta ,b\sin \theta )$ とおく。接線に平行な直線 $m$ を標準形で書き、点と直線の距離公式から(1)を示す。(2)では焦点距離 $PF$ を求め、$P$ から $F$ へ距離 $a$ だけ進んだ点が $m$ 上にあることを代入で確認する。

(1)

$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ として$$P=(-a\cos \theta ,b\sin \theta )$$とおく。$P$ における接線は$$-{\displaystyle \frac{\cos \theta }{a}}x+{\displaystyle \frac{\sin \theta }{b}}y=1$$だから、これに平行で原点を通る $m$ は$$-b\cos \theta x+a\sin \theta y=0.$$第1象限の楕円との交点は$$A=(a\sin \theta ,b\cos \theta )$$である。従って$$OA=\sqrt{a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta }\mathrm{.}$$点と直線の距離公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle PB}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mid (-b\cos \theta )(-a\cos \theta )+(a\sin \theta )(b\sin \theta )\mid }{\sqrt{b^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta }}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{ab}{OA}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$OA\cdot PB=ab\mathrm{.}$$(2)$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$ とおけば $F=(e,0)$ である。直接計算すると$$P{F}^2=(-a\cos \theta -e{)}^2+b^2{\sin }^2\theta =(a+e\cos \theta {)}^2,$$よって$$PF=a+e\cos \theta \mathrm{.}$$線分 $PF$ 上に$$C=P+\lambda (F-P),\lambda ={\displaystyle \frac{a}{a+e\cos \theta }}$$と点をとる。このとき $PC=\lambda PF=a$ である。

あとは $C\in m$ を確認する。$m$ の左辺を $L(x,y)$ と書くと$$L(P)=ab,L(F-P)=-b(a+e\cos \theta )\mathrm{.}$$従って$$L(C)=ab-{\displaystyle \frac{a}{a+e\cos \theta }}b(a+e\cos \theta )=0.$$よって $C$ は問題で定めた交点であり、$$PC=a\mathrm{.}$$