大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) 各点は$$P=(a,{\displaystyle \frac{1}{a}}),Q=(b,{\displaystyle \frac{1}{b}}),R=(c,{\displaystyle \frac{1}{c}}),S=(d,{\displaystyle \frac{1}{d}})$$である。四角形 $PQSR$ が長方形であるから、まず平行四辺形であり、対角線の中点が一致する。したがって $P+S=Q+R$ が成り立つ。座標ごとに書くと $$a+d=b+c,{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{d}}={\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}$$ である。

第2式は $${\displaystyle \frac{a+d}{ad}}={\displaystyle \frac{b+c}{bc}}$$ である。第1式と合わせると、もし $a+d=b+c\mathrm{\ne }0$ なら $ad=bc$ となり、2数 $a,d$ と $b,c$ は和も積も等しいので同じ組になってしまう。これは $d<c<0<b<a$ に反する。よって $a+d=b+c=0$ でなければならない。したがって $d=-a,c=-b$ である。

次に、長方形であるから隣り合う辺 $PQ$ と $QS$ は垂直である。すなわち $$\overrightarrow{PQ}=(b-a,{\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}),$$ $$\overrightarrow{QS}=(-a-b,-{\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}})$$ の内積が0である。よって$$(b-a)(-a-b)+({\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})(-{\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}})=0$$である。整理すると $$(a^2-b^2)+({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{1}{b^2}})=0$$ すなわち $$(a^2-b^2)(1-{\displaystyle \frac{1}{a^2{b}^2}})=0$$ である。$a>b>0$ なので $a^2-b^2\mathrm{\ne }0$ であり、$ab=1$ を得る。したがって $$b={\displaystyle \frac{1}{a}},c=-{\displaystyle \frac{1}{a}},d=-a$$ である。また $b<a$ より $a>1$ である。

(2) (1) より $$P=(a,{\displaystyle \frac{1}{a}}),R=(-{\displaystyle \frac{1}{a}},-a)$$ である。直線 $PR$ は傾き1であり、$y=x-a+{\displaystyle \frac{1}{a}}$ と書ける。よって $x$ 軸との交点は $$T=(a-{\displaystyle \frac{1}{a}},0)$$ である。

同様に、$$Q=({\displaystyle \frac{1}{a}},a),S=(-a,-{\displaystyle \frac{1}{a}})$$ を通る直線 $QS$ は $y=x+a-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ であるから、$y$ 軸との交点は $$U=(0,a-{\displaystyle \frac{1}{a}})$$ である。

ここで $A=a-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ とおく。$a>1$ より $A>0$ である。直線 $TU$ は $y=A-x$ である。この線分と双曲線 $y=1\mathrm{/}x$ が共通点をもたないためには、$0<x<A$ において $A-x={\displaystyle \frac{1}{x}}$ が解をもたなければよい。これは $x(A-x)=1$ すなわち $x^2-Ax+1=0$ が実数解をもたないことと同値である。したがって判別式より $A^2-4<0$ である。$A>0$ だから $0<A<2$ であり、$0<a-{\displaystyle \frac{1}{a}}<2$ となる。$a>1$ と合わせて解くと $a^2-2a-1<0$ より $1<a<1+\sqrt{2}$ である。

(3) 以下、$1<a<1+\sqrt{2}$ とする。$A=a-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ とおく。求める部分は、双曲線の弧 $QP$ と折れ線 $QUTP$ に囲まれた部分である。

双曲線の弧 $QP$ の下の面積は$${\int }_{1\mathrm{/}a}^a{\displaystyle \frac{1}{x}}dx=2\log a$$である。一方、折れ線 $QUTP$ に沿う直線部分は $$QU:y=x+A,UT:y=A-x,TP:y=x-A$$ である。向きに注意して $Q$ から $U,T,P$ へ進むと、直線部分に対応する積分は$${\int }_{1\mathrm{/}a}^0(x+A)dx+{\int }_0^A(A-x)dx+{\int }_A^a(x-A)dx$$である。これを計算すると$${\int }_{1\mathrm{/}a}^0(x+A)dx+{\int }_0^A(A-x)dx+{\int }_A^a(x-A)dx={\displaystyle \frac{a^2}{2}}-2+{\displaystyle \frac{3}{2a^2}}$$である。

したがって面積は $$S(a)=2\log a-({\displaystyle \frac{a^2}{2}}-2+{\displaystyle \frac{3}{2a^2}})$$ すなわち $$S(a)=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2\log a+2-{\displaystyle \frac{3}{2a^2}}$$ である。

(4) (3) の式を微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=-a+{\displaystyle \frac{2}{a}}+{\displaystyle \frac{3}{a^3}}$$ である。分母をそろえると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{-a^4+2a^2+3}{a^3}}=-{\displaystyle \frac{(a^2-3)(a^2+1)}{a^3}}$$ である。$a>1$ では $a^3>0$, $a^2+1>0$ なので、符号は $-(a^2-3)$ の符号で決まる。

したがって $$1<a<\sqrt{3}\text{で }{S}^{\mathrm{\prime }}(a)>0,$$ $$\sqrt{3}<a<1+\sqrt{2}\text{で }{S}^{\mathrm{\prime }}(a)<0$$ である。よって $S(a)$ は $1,\sqrt{3}$ で増加し、$\sqrt{3},1+\sqrt{2}$ で減少する。最大は $a=\sqrt{3}$ のときである。

このとき $$S(\sqrt{3})=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2\log \sqrt{3}+2-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\log 3$$ である。よって最大値は $\log 3$ である。

長方形の中心対称性と直交条件から4頂点を $a$ だけで表す。
その後 $a=e^u$ と置くと、交点なしの条件は $2\sinh u<2$、
面積は指数式となる。$u$ による微分は因数分解しやすく、
最大点 $e^{2u}=3$ が直接得られる。

(1)
長方形の対角線の中点一致から $P+S=Q+R$。
$x$ 座標と $y$ 座標へ適用すると$$a+d=b+c,{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{d}}={\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\mathrm{.}$$順序条件により共通の和は0でなければならず、$d=-a,c=-b$。
隣辺の内積を0とすると$$(a^2-b^2)(1-{\displaystyle \frac{1}{a^2{b}^2}})=0.$$$a>b>0$ より $ab=1$。したがって$$b={\displaystyle \frac{1}{a}},c=-{\displaystyle \frac{1}{a}},d=-a,a>1.$$(2)
$A=a-1\mathrm{/}a$ とおくと $T=(A,0),U=(0,A)$。
線分 $TU$ は $y=A-x$ であり、双曲線との交点条件は
$x^2-Ax+1=0$。共通点がない条件は $A^2<4$ なので$$1<a<1+\sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)
双曲線弧と3線分の符号付き面積を計算すると$$S(a)=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+2\log a+2-{\displaystyle \frac{3}{2a^2}}\mathrm{.}$$ここで $a=e^u$ とおけば$$S(u)=-{\displaystyle \frac{e^{2u}}{2}}+2u+2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-2u}\mathrm{.}$$(4)$${\displaystyle \frac{dS}{du}}=-e^{2u}+2+3e^{-2u}=-{\displaystyle \frac{(e^{2u}-3)(e^{2u}+1)}{e^{2u}}}\mathrm{.}$$よって $u<{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 3$ で増加、その後は減少する。
範囲内の $a=\sqrt{3}$ で最大となり$$S(\sqrt{3})=\log 3.$$