阪大 2001年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $z_{k}^{2} = (x_{k}^{2} - y_{k}^{2}) + 2 x_{k} y_{k} i$ を足し合わせ、 $\sum x_{k}^{2} = ∣ \vec{x} ∣^{2}$ 、 $\sum y_{k}^{2} = ∣ \vec{y} ∣^{2}$ 、 $\sum x_{k} y_{k} = \vec{x} \cdot \vec{y}$ に置き換える。(2)(3)では、 $w_{k} = (\sqrt{3} + i) z_{k}$ を実部・虚部に分けて $\vec{u} = \sqrt{3} \vec{x} - \vec{y}$ 、 $\vec{v} = \vec{x} + \sqrt{3} \vec{y}$ を得る。あとは仮定 $∣ \vec{x} ∣ = ∣ \vec{y} ∣$ 、 $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ を用いて長さ、内積、なす角を順に計算する。

解答

(1) $z_{k} = x_{k} + y_{k} i$ より $z_{k}^{2} = (x_{k} + y_{k} i)^{2} = x_{k}^{2} - y_{k}^{2} + 2 x_{k} y_{k} i$ である。これを $k = 1, 2, 3$ について足すと ${z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2} = \sum_{k = 1}^{3} (x_{k}^{2} - y_{k}^{2}) + 2 i \sum_{k = 1}^{3} x_{k} y_{k}$ となる。ここで $\sum_{k = 1}^{3} x_{k}^{2} = r^{2}, \sum_{k = 1}^{3} y_{k}^{2} = s^{2}, \sum_{k = 1}^{3} x_{k} y_{k} = r s \cos θ$ である。したがって ${z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2} = r^{2} - s^{2} + 2 r s \cos θ i$ である。

(2) $w_{k} = (\sqrt{3} + i) (x_{k} + y_{k} i) = (\sqrt{3} x_{k} - y_{k}) + (x_{k} + \sqrt{3} y_{k}) i$ であるから $u_{k} = \sqrt{3} x_{k} - y_{k}, v_{k} = x_{k} + \sqrt{3} y_{k}$ である。よってベクトルで書けば $\vec{u} = \sqrt{3} \vec{x} - \vec{y}, \vec{v} = \vec{x} + \sqrt{3} \vec{y}$ となる。

仮定より $∣ \vec{x} ∣ = ∣ \vec{y} ∣$ かつ $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ である。共通の長さを $r$ とすると $∣ \vec{u} ∣^{2} = 3 ∣ \vec{x} ∣^{2} - 2 \sqrt{3} \vec{x} \cdot \vec{y} + ∣ \vec{y} ∣^{2} = 4 r^{2}$ であり、同様に $∣ \vec{v} ∣^{2} = ∣ \vec{x} ∣^{2} + 2 \sqrt{3} \vec{x} \cdot \vec{y} + 3 ∣ \vec{y} ∣^{2} = 4 r^{2}$ である。したがって $∣ \vec{u} ∣ = ∣ \vec{v} ∣$ である。

また $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\sqrt{3} \vec{x} - \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \sqrt{3} \vec{y})$ $= \sqrt{3} ∣ \vec{x} ∣^{2} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} - \sqrt{3} ∣ \vec{y} ∣^{2} = 0$ である。よって $\vec{u}$ と $\vec{v}$ はたがいに垂直である。

(3) $\vec{x}$ と $\vec{u}$ のなす角を $ϕ$ とする。(2)より $∣ \vec{u} ∣ = 2 r$ であり、 $\vec{x} \cdot \vec{u} = \vec{x} \cdot (\sqrt{3} \vec{x} - \vec{y}) = \sqrt{3} r^{2}$ である。したがって $\cos ϕ = \frac{\vec{x} \cdot \vec{u}}{∣ \vec{x} ∣ ∣ \vec{u} ∣} = \frac{\sqrt{3} r^{2}}{r \cdot 2 r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。 $0^{\circ} ≦ ϕ ≦ 180^{\circ}$ より $ϕ = 30^{\circ}$ である。

別解

解法2（直交座標の係数を見る）

方針

(1) では3成分をまとめて複素二次形式と内積の関係を使う。(2)(3)では、同じ長さで直交する $x, y$ をその平面の直交座標軸とみなし、 $u, v$ の係数対だけを調べる。

解答

(1)

成分ごとの展開をまとめて書けば $\sum_{k = 1}^{3} z_{k}^{2} = x \cdot x - y \cdot y + 2 i x \cdot y .$ 従って $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = r^{2} - s^{2} + 2 r s \cos θ i .$ (2)

$w_{k} = (\sqrt{3} + i) z_{k}$ の実部と虚部から $u = \sqrt{3} x - y, v = x + \sqrt{3} y$ である。(2)の仮定のもとで共通の長さを $r$ とし、 $e_{1} = \frac{x}{r}, e_{2} = \frac{y}{r}$ とおくと、 $e_{1}, e_{2}$ は直交する単位ベクトルである。この座標では $u = r (\sqrt{3} e_{1} - e_{2}), v = r (e_{1} + \sqrt{3} e_{2}) .$ 係数対 $(\sqrt{3}, - 1)$ 、 $(1, \sqrt{3})$ はともに長さ2で、内積は0である。従って $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 2 r, u \cdot v = 0.$ (3)

$x$ は $e_{1}$ の正方向であり、 $u$ の係数対は $(\sqrt{3}, - 1)$ である。従って両者のなす角を $ϕ$ とすると $\cos ϕ = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ よって $ϕ = 30^{\circ} .$

総評

複素数の実部・虚部の計算を、空間ベクトルの内積と長さに翻訳する問題。難度は標準、計算量は中程度で、目安時間は16〜20分。(1)では $\sum x_{k} y_{k}$ を $r s \cos θ$ に置き換えるところ、(2)では $\vec{u} = \sqrt{3} \vec{x} - \vec{y}$ 、 $\vec{v} = \vec{x} + \sqrt{3} \vec{y}$ を正しく取り出すところが得点の中心である。符号を1つ間違えると直交性も角度も崩れるため、実部と虚部を最初に丁寧に分けたい。別解のように、 $\vec{x}$ 、 $\vec{y}$ が作る直交座標で係数だけを見ると、(2)(3)の意味が見えやすい。

出典: 大阪大学 2001年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

大阪大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問