大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $k=2$ の条件は、同じ目が出る2回の試行が少なくとも2だけ離れているということである。これは、隣り合う2回で同じ目が出ないことと同値である。

1回目は6通りであり、2回目以降は直前の目と異なる5通りを選べばよい。したがって条件を満たす出方は $6\cdot 5^{n-1}$ 通りである。全事象は $6^n$ 通りなので $$p_2={\displaystyle \frac{6\cdot 5^{n-1}}{6^n}}={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}$$ である。

(2) まず $3\leqq k\leqq 6$ とする。このとき、最初の $k$ 回に同じ目が2回出ると、その2回の距離は高々 $k-1$ であり条件に反する。したがって最初の $k$ 回はすべて異なる必要がある。

最初の $k$ 回の選び方は $6\cdot 5\cdot 4\cdots (7-k)$ 通りである。$k+1$ 回目以降は、直前の $k-1$ 回に出た目を選ぶことができない。条件がここまで守られていれば、この直前 $k-1$ 回の目はすべて異なるので、禁止される目は $k-1$ 種類である。したがって各回で選べる目は $6-(k-1)=7-k$ 通りである。$k+1$ 回目から $n$ 回目までは $n-k$ 回あるので、$$p_k={\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdots (7-k)\cdot (7-k{)}^{n-k}}{6^n}}(3\leqq k\leqq 6)$$である。

この式は、従来の書き方では ${\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdots (8-k)(7-k{)}^{n-k+1}}{6^n}}$ とまとめても同じである。

次に $k\geqq 7$ とする。最初の7回の試行を考えると、さいころの目は6種類しかないから、同じ目が少なくとも2回出る。その2回の距離は最大でも6である。ところが $k\geqq 7$ では、同じ目が出る2回は少なくとも $k$ だけ離れていなければならないので不可能である。よって $$p_k=0(7\leqq k\leqq n)$$ である。

(3) 求める事象は、まず「同じ目が続くことはない」という条件を満たし、さらに「距離2で同じ目が出る組が少なくとも1組ある」というものである。

「同じ目が続くことはない」確率は $p_2$ である。一方、その中で「距離2で同じ目が出る組もない」ことは、同じ目が出るどの2回も少なくとも3だけ離れていること、すなわち $k=3$ の条件である。したがって求める確率は $p_2-p_3$ である。

(1) , (2) より$$p_2={\displaystyle \frac{6\cdot 5^{n-1}}{6^n}},p_3={\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4^{n-2}}{6^n}}$$なので、求める確率は ${\displaystyle \frac{6\cdot 5^{n-1}-6\cdot 5\cdot 4^{n-2}}{6^n}}$ である。

条件を満たす長さ $m$ の列の個数を $N_m$ とする。
最初の $k$ 項は相異なり、その後は直前 $k-1$ 個以外の目を選ぶので
$N_m=(7-k)N_{m-1}$ となる。これで $p_k$ を一括して求め、
(3) は $k=2$ と $k=3$ の事象の差として処理する。

(1)
隣接する目だけを異ならせればよいので$$p_2={\displaystyle \frac{6\cdot 5^{n-1}}{6^n}}={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$(2)
$3\leqq k\leqq 6$ とする。最初の $k$ 回はすべて異なるから$$N_k=6\cdot 5\cdot 4\cdots (7-k)\mathrm{.}$$その後は直前 $k-1$ 種類を避け、各回 $7-k$ 通りなので$$p_k={\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdots (7-k)(7-k{)}^{n-k}}{6^n}}\mathrm{.}$$$k\geqq 7$ では最初の7回で同じ目が距離6以下に現れるため$$p_k=0.$$(3)
隣接一致がない事象から、距離2の一致もない事象を除けばよい。
したがって$$p_2-p_3={\displaystyle \frac{6\cdot 5^{n-1}-6\cdot 5\cdot 4^{n-2}}{6^n}}\mathrm{.}$$