大阪大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第3問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x\log x-x\mathrm{.}$$接点を $(a,f(a))$ とすると、接線が原点を通る条件は $f(a)=a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$ である。よって$$-a^2\log a=a(-2a\log a-a),$$すなわち $\log a=-1$ である。したがって$$a=e^{-1},f(a)=e^{-2},f^{\mathrm{\prime }}(a)=e^{-1}\mathrm{.}$$接点は $(e^{-1},e^{-2})$、接線は$$y={\displaystyle \frac{x}{e}}$$である。

(2) $g(x)=-x\log x$ とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\log x-1.$$したがって $x=e^{-1}$ で最大となり$$-x\log x\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}=p\mathrm{.}$$(3) $u=1\mathrm{/}x$ とおけば$$-x^2\log x={\displaystyle \frac{\log u}{u^2}}⟶0.$$(4)$$f(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2=x^2(-\log x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$は $c=e^{-1\mathrm{/}2}$ で符号を変える。よって$$\underset{b\to 0+}{\lim }S(b)={\int }_0^c{x}^2(-\log x-{\displaystyle \frac{1}{2}})dx+{\int }_c^1{x}^2(\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}})dx\mathrm{.}$$$$\int x^2\log xdx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}\log x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}$$を用いると、第1積分は $e^{-3\mathrm{/}2}\mathrm{/}9$、第2積分は $1\mathrm{/}18+e^{-3\mathrm{/}2}\mathrm{/}9$ である。したがって$$\underset{b\to 0+}{\lim }S(b)={\displaystyle \frac{1+4e^{-3\mathrm{/}2}}{18}}\mathrm{.}$$曲線と原点を通る接線

$x=e^{-t}$ と置き，$-x\log x=t{e}^{-t}$ の最大値と $x^2\mathrm{\mid }\log x\mathrm{\mid }$ の極限を同じ指数関数の議論で処理する。絶対値積分も符号の切替点 $t=1\mathrm{/}2$ に対応させる。

(1)
$x=e^{-t}$ と置く。接点 $x=a$ で原点を通る条件は$$f(a)=a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$$だから $\log a=-1$，すなわち$$a=e^{-1}\mathrm{.}$$接点は $(e^{-1},e^{-2})$，接線は$$y={\displaystyle \frac{x}{e}}\mathrm{.}$$(2)
また$$-x\log x=t{e}^{-t}\mathrm{.}$$$t\leqq 0$ では左辺は0以下である。$t>0$ では$${\displaystyle \frac{d}{dt}}(t{e}^{-t})=e^{-t}(1-t)$$より最大値は $t=1$ で $e^{-1}$。したがって$$-x\log x\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}=p\mathrm{.}$$(3)
同じ置換で$$-x^2\log x=t{e}^{-2t}⟶0(t\to \mathrm{\infty }),$$よって (3) の極限は0である。

(4) $$f(x)-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}=x^2(-\log x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$だから符号の切替点は $c=e^{-1\mathrm{/}2}$。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{b\to 0+}{\lim }S(b)}& {\displaystyle ={\int }_0^c{x}^2(-\log x-{\displaystyle \frac{1}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_c^1{x}^2(\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1+4e^{-3\mathrm{/}2}}{18}}}\mathrm{.}}\end{array}$$