大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を基底として考える。三角形 $OAB$ の重心 $G$ は$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{OB}$$である。また$$\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OQ}=b\overrightarrow{OB}$$である。

点が三角形 $OPQ$ の内部にあるための条件は，ある正の数 $\lambda ,\mu$ によって$$\overrightarrow{OG}=\lambda \overrightarrow{OP}+\mu \overrightarrow{OQ},\lambda +\mu <1$$と表せることである。ここで辺上は内部に含まないので，$\lambda >0$，$\mu >0$，$\lambda +\mu <1$ はすべて厳密不等式である。

係数を比較すると $${\displaystyle \frac{1}{3}}=\lambda a,{\displaystyle \frac{1}{3}}=\mu b$$ であるから $$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{3a}},\mu ={\displaystyle \frac{1}{3b}}$$ となる。したがって必要十分条件は $${\displaystyle \frac{1}{3a}}+{\displaystyle \frac{1}{3b}}<1$$ すなわち ${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}<3$ である。もともと $0<a<1$，$0<b<1$ であるから，これと合わせたものが条件である。

図示のために $b$ の範囲に直す。$1\mathrm{/}a+1\mathrm{/}b<3$ は $a+b<3ab$ である。これを $b$ について解くには $3a-1$ の符号に注意する。条件を満たすには $3a-1>0$ が必要で，そのとき $$b>{\displaystyle \frac{a}{3a-1}}$$ である。さらに $b<1$ も必要なので $${\displaystyle \frac{a}{3a-1}}<1$$ が必要である。これは $$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ と同値である。よって図示すべき範囲は $${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1,{\displaystyle \frac{a}{3a-1}}<b<1$$ である。座標平面では，単位正方形 $0<a<1,0<b<1$ の中で，曲線 $b=a\mathrm{/}(3a-1)$ の上側，かつ直線 $b=1$ の下側にある部分である。境界は内部に含まれないため，いずれも含まない。

曲線・直線はいずれも境界なので含まない．