大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第3問

(1) $c_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$ とおく。条件より $${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=1$$ であるから、$c_{n+1}-c_n=1$ である。また $c_1={\displaystyle \frac{1}{a_1}}=3$ である。したがって $\{c_n\}$ は初項 $3$、公差 $1$ の等差数列であり、$c_n=3+(n-1)=n+2$ となる。よって $a_n={\displaystyle \frac{1}{n+2}}$ である。

(2)
与えられた階差の式から、$n\geqq 2$ のとき$$b_n=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}{a}_{k+1}{a}_{k+2}$$である。ここで (1) より $$a_{k+1}{a}_{k+2}={\displaystyle \frac{1}{(k+3)(k+4)}}={\displaystyle \frac{1}{k+3}}-{\displaystyle \frac{1}{k+4}}$$ である。また $$b_1=a_1{a}_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}+\sum _{k=1}^{n-1}({\displaystyle \frac{1}{k+3}}-{\displaystyle \frac{1}{k+4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}+({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})+({\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{6}})+\cdots +({\displaystyle \frac{1}{n+2}}-{\displaystyle \frac{1}{n+3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{n+3}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $${\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ だから、$$b_n={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{n+3}}={\displaystyle \frac{n}{3(n+3)}}$$ である。$n=1$ のときも $${\displaystyle \frac{1}{3(1+3)}}={\displaystyle \frac{1}{12}}=b_1$$ なので、すべての正の整数 $n$ で成り立つ。

望遠和で消える項

主解で得た一般項 $b_n=n\mathrm{/}\{3(n+3)\}$ を候補とし，初期値と階差の式を数学的帰納法の形で直接確認する．

(1)

逆数を取ると $${\displaystyle \frac{1}{a_n}}=n+2$$ となるから，$$a_n={\displaystyle \frac{1}{n+2}}$$である．

(2)
$b_n$ の式を予想してから帰納法で確認してもよい。候補を $$b_n={\displaystyle \frac{n}{3(n+3)}}$$ とする。$n=1$ では $$b_1={\displaystyle \frac{1}{12}}$$ で正しい。またこの式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}-b_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n+1}{3(n+4)}}-{\displaystyle \frac{n}{3(n+3)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(n+3)-n(n+4)}{3(n+3)(n+4)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{3(n+3)(n+4)}}={\displaystyle \frac{1}{(n+3)(n+4)}}}\end{array}$$となる。一方、(1) より $$a_{n+1}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{1}{(n+3)(n+4)}}$$ であるから、階差の条件も満たす。よって同じ一般項が得られる。