大阪大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第1問

(1) 与式を $x=1,2,\dots ,n$ について加えると$$(n+1{)}^4-1=4\sum _{k=1}^n{k}^3+6\sum _{k=1}^n{k}^2+4\sum _{k=1}^{n}k+n\mathrm{.}$$$$\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$を代入して整理すると$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\displaystyle \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}}={\left\{{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\right\}}^2\mathrm{.}$$(2) 一般に$$(x+1{)}^{m+1}-x^{m+1}=(m+1)x^m+\text{それより低い次数の項}$$を $x=1,\dots ,n$ について加え、低いべきの和から順に帰納すれば、$$\sum _{k=1}^n{k}^m$$は $n$ の $m+1$ 次多項式になる。よって$$T(n)=\sum _{k=1}^n{k}^5=A{n}^6+B{n}^5+\text{4次以下の項}$$と書ける。

$T(n)-T(n-1)=n^5$ である。一方$$n^6-(n-1{)}^6=6n^5-15n^4+\text{3次以下の項},$$$$n^5-(n-1{)}^5=5n^4+\text{3次以下の項}\mathrm{.}$$係数比較から$$6A=1,-15A+5B=0.$$したがって$$A={\displaystyle \frac{1}{6}},B={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって6次の項の係数は $1\mathrm{/}6$、5次の項の係数は $1\mathrm{/}2$ である。

差分を加えると中間項が消える

べき和 $T(n)$ を未知係数をもつ多項式と仮定し，差分 $T(n)-T(n-1)=n^5$ の上位項だけを比較する。次数が6であることは，二項展開の差を低次数のべき和へ順次帰着して示す。

(1)
恒等式を $x=1,\dots ,n$ で加えると$$(n+1{)}^4-1=4\sum _{k=1}^n{k}^3+6\sum _{k=1}^n{k}^2+4\sum _{k=1}^{n}k+n\mathrm{.}$$既知の公式を代入して整理すれば$${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3={\displaystyle \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}}}\mathrm{.}$$(2)
一般に二項展開から$$(x+1{)}^{m+1}-x^{m+1}=(m+1)x^m+\sum _{j=0}^{m-1}{c}_j{x}^j\mathrm{.}$$これを加えると，$m$ 乗和は左辺の $n$ の $m+1$ 次式と，帰納的に既知である低いべき和の多項式で表される。よって5乗和は6次式である。$$T(n)=A{n}^6+B{n}^5+O(n^4)$$と書く。差分を取れば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T(n)-T(n-1)}& {\displaystyle =A(6n^5-15n^4+O(n^3))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +B(5n^4+O(n^3))\mathrm{.}}\end{array}$$これが $n^5$ に等しいので$$6A=1,-15A+5B=0.$$したがって$$A={\displaystyle \frac{1}{6}},B={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$